专题5.15 将军饮马模型（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.15 将军饮马模型（知识梳理与考点分类讲解） 【模型一 两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 图1 【模型二 两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 图2 【模型三 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 图3 【模型四 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 图4 【模型五 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图5 【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图6 【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动型； 【考点3】两定两动型； 【考点4】一定两动（垂线段最短）型； 【考点5】一定两动（垂线段最短）转化型；. 【考点1】两定一动型； 【例1】如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为 ． 【答案】14 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=14，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论． 解：∵AB=AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， 又∵BC=12，S△ABC=84， ∴×12×AD=84， ∴AD=14， ∵EF垂直平分AB， ∴PA=PB， ∴PB+PD=PA+PD， ∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD， 即AD的长度=PB+PD的最小值， ∴PB+PD的最小值为14， 故答案为：14． 【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式】如图，在中，，，，垂直平分，点D为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，垂直平分线的性质，准确找出点D的位置是解答本题的关键．根据垂直平分线的性质可知，点B与点C关于对称，故当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，由此即可得到答案． 解：垂直平分， 点B与点C关于对称， 如图，设与相较于点P， 当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长， ，， 周长的最小值是， 故答案为：10． 【考点2】一定两动型； 【例2】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 【答案】B 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°． 解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N， 则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°， 故选：B． 【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和