专题5.5 简单的轴对称图形——垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.5 简单的轴对称图形—垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】线段的轴对称性 1. 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线） 2. 线段是轴对称图形，它有两条对称轴；一条是垂直平分线，另一条是线段本身所在的直线． 【知识点二】线段垂直平分线的性质 1. 文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 2. 数学语言：如图1，点P是线段AB垂直平分线MN上一点，则有PA=PB. 图1 【知识点三】用尺规作线段垂直平分线 1. 分别以A、B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，两弧交于C、D两点； 2. 作直线CD; 直线CD就是线段AB的垂直平分线（如图2）。 图2 【考点目录】 【考点1】线段垂直平分线的性质； 【考点2】线段垂直平分线的证明； 【考点3】线段垂直平分线的应用； 【考点4】尺规作图——作垂直平分线, 【考点1】线段垂直平分线的性质； 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，点P关于，的对称点分别为C，D，连接，交于点M，交于点N，连接交于点R，连接交于点T，连接，． (1)若的长为，求的周长； (2)若，四边形的4个内角之和为，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键． （1）解：∵点C，D分别是点P关于，的对称点， ∴，． ∵， ∴． 即的周长是． （2）∵点C，D分别是点P关于，的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ，， ∴． ∵四边形的4个内角之和为， ∴在四边形中，． ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2023·广西河池·一模）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（　　）    A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长， ∵， ∴的周长为2， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 解：是的垂直平分线，且， ，， 又的周长为38， 的周长， 故答案为：28． 【考点2】线段垂直平分线的证明； 【例2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1) 求证：是的垂直平分线． (2) 若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 【变式1】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 【变式2】（23-24八年级上·四川资阳·期中）如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据即可证明③，不能得出结论④． 解：∵， ∴，， ∵四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由已知条件不能判断，故④错误． 故答案为：①②③． 【考点3】线段垂直平分线的应用； 【例3】 （23-24八年级