一元函数的导数及其应用专题二 讲义-2024届高三数学三轮复习

高中数学 2024年高考导数复习专题二 知识点一 由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、极值与最值的综合应用 利用导数研究函数的零点 典例1、已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 随堂练习：已知函数． （1）若，求函数在区间的最值； （2）若恰有三个零点，求a的取值范围． 典例2、已知函数在处取得极值. （1）求在上的最小值； （2）若函数有且只有一个零点，求b的取值范围. 随堂练习：已知. （1）若在有唯一零点，求值； （2）求在的最小值. 典例3、已知函数，且，其中是自然对数的底数 （1）当时，求函数的单调区间和最值； （2）若函数没有零点，求实数m的取值范围． 随堂练习：已知函数. （1）当，求的最值； （2）若有两个不同的极值点，求的取值范围. 知识点二 求过一点的切线方程,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数研究方程的根, 利用导数研究双变量问题 典例4、已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同零点，，①求实数a的取值范围； ②求证：． 随堂练习：已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）试讨论函数的零点个数； （2）当时，设函数的两个极值点为、且，求证：. 典例5、已知函数． （1）当时，求曲线与曲线的公切线的方程； （2）设函数的两个极值点为， 求证：关于的方程有唯一解． 随堂练习：已知，函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）若有两个不同的极值点，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：（……为自然对数的底数）. 典例6、已知函数. （1）若函数存在两个零点，求实数的范围; （2）当函数有两个零点，且存在极值点， 证明:①; ②. 随堂练习：函数，． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若直线是函数图象的切线，求的最小值； （3）当时，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小．（取为2.8，取为0.7，取为1.4） 2024年高考导数复习专题二答案 典例1、答案： （1）；（2） 解：（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值为， 当时，所以函数在区间上的最大值为； （2）由，所以， 当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去； 所以，令得或， 函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，， 当时，令得或，所以函数在和上单调递增， 令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值， 在处取得极小值，解得； 当时，令得或，所以函数在和上单调递增， 令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值， 所以的图象与轴不可能有三个交点； 综上可得，即 随堂练习：答案： （1）最大值为37，最小值为；（2）. 解：（1）若，则，， 令，得或，列表如下： x 1 3 + 0 - 1 + 单增 5 单减 单增 37 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为， 的极小值为，，. 故最大值为37，最小值为． （2）， 当时，恒成立，在R上单调递减， 此时至多一个零点，不符合题意； 当时，令，则， 所以当或时，；当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，的极小值为． 因为恰有三个零点，所以，解得， 所以；综上所述，a的取值范围为． 典例2、答案：（1） （2） 解：（1）因为，所以， 在处取得极值，，即解得， ，所以， 所以当或时，当时， 在上单调递增，在上单调递减， 又，在上的最小值为. （2）由（1）知，， 若函数有且只有一个零点， 则方程有唯一解，即有唯一解， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 又，函数图象如下所示： 或，得或， 即b的取值范围为. 随堂练习：答案：（1）（2） 解:（1）由得， 令，，由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故 因为在有唯一零点，所以只需与直线有一个交点， . （2），. 当时，恒成立，所以在上单调递增，因此最小值为； 当时，由得；由得； 所以在上单调递减，在上单调递增；因此； 当时，在上恒成立，所以在上单调递减； 因此，最小值为； 综上，. 典例3、答案：（1）单调减区间是，单调增区间是，最小值是，无最大值 （2） 解：（1）当时， ，，令， 当时，，单调递减，当时，，单调递增 ∴单调减区间是，单调增区间是 ∴最小值是，无最大值． （2）由题可知，，其中， 当时，恒成立，在区间上单调递增． 令，即，，如图