精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷

沈阳二中2023—2024学年下学期期中测试 高二（25届）数学试题 说明： 1.测试时间：120分钟总分：150分 客观题涂在答题卡上，主观题答在答题卡的相应位置上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 2. 平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（ ）. A. B. C. D. 3. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前项为、、、，则该数列的第项为（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式中不是恒成立的是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，若对任意，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 函数在上为增函数 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件 B. 数列的通项为，若为单调递增数列，则 C. 等比数列中，，是方程的两根，则 D. 等差数列，的前n项和为分别为，，若，则 11. 已知函数有唯一的极值点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列{}前n项和为，则=___________． 13. “等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款100000元租㐼了一处经营场所，张华跟银行约定按照“等额本金还款法”分10年进行还款，贷款的年利率为，设第年张华的还款金额为元，则______. 14. 设函数的极值点为，则______.已知数列满足，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有两个条件：（1）函数的图象过点，且函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.（2）在时取得极大值.这两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题.题目：已知函数存在极值，并且______. （1）求解析式； （2）当时，求函数的最值 16. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 17 设函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且. 18. 令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线交轴于；在点处作抛物线的切线，交轴于；在点处作抛物线的切线，交轴于；由此能得到一个数列，且数列满足，，.回答下列问题. （1）设，求的解析式； （2）证明数列是等比数列并求 （3）设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. （1）证明：存在源数列； （2）（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳二中2023—2024学年下学期期中测试 高二（25届）数学试题 说明： 1.测试时间：120分钟总分：150分 客观题涂在答题卡上，主观题答在答题卡的相应位置上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，