专题9.1线性回归分析（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题9.1线性回归分析 知识点1相关关系 1.相关关系 两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 2.散点图、正相关、负相关 （1）散点图:将样本中几个数据点描在平面直角坐标系中得到的图形. （2）正相关与负相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关. 如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关. 3.线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 4.样本相关系数 （1） 当时,称成对样本数据正相关;当时,称成对样本数据负相关. （2）样本相关系数的取值范围为. 当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 知识点2一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 知识点3判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 重难点1相关关系的判断 【例1】已知变量与的回归直线方程为，变量与负相关，则（    ） A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与正相关 D．与正相关，与负相关 【例2】下列两个变量之间的关系是相关关系的是（    ） A．正方形的边长与对角线长 B．球的体积与表面积 C．一个人的身高与学习成绩 D．平均学习时间与学习成绩 【变式1-1】下列图形中具有相关关系的两个变量是（    ）． A．   B．   C．   D．   【变式1-2】试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系： (1)商品的销售价格与其供应量； (2)汽车的行驶速度与耗油量； (3)真空中自由降落的小球，位移（单位：m）与时间（单位：s）； (4)日降雨量（单位：cm）与空气中污染物浓度（单位：）. 【变式1-3】对变量有观测数据（），得表1；对变量 有观测数据（），得表2．由这两个表可以判断：变量x与y ，变量u与v ．（填写“正相关”或“负相关”） 表1 x 1 2 3 4 5 y 2.9 3.3 3.6 4.4 5.1 表2 u 1 2 3 4 5 v 25 20 21 15 13 （1）画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关. （2）样本相关系数:时,正相关；时,负相关. 重难点2相关系数的意义 【例3】某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 【变式2-1】开始吸烟年龄与得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，；每天吸烟的支数与其得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（    ） A．当时，X和Y具有正线性相关性 B．随着r值减小，X和Y的相关性也减小 C．当时，X和Y不具有相关性 D．当时，X和Y具有较强的线性相关性 【变式2-3】为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，0.36，0.93，则这四组数据中线性相关性最强的是 组数据． 变量之间的样本相关系数具有如下性质 （1）,故变量之间的样本相关系数的取值范围为. （2）越大,变量之间的线性相关程度越强;越接近,变量之间的线性相关程度越弱. （3）当时,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关