专题6.2 空间向量的坐标表示（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.2 空间向量的坐标表示 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 知识点3 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点4 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点5 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 重难点1对空间向量基本定理的理解 【例1】正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【变式1-1】（多选）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面 【变式1-2】若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（　　） A． B． C． D． 判断三个向量能否作为基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． （2）方法：假设，运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 重难点2空间向量基本定理的应用 【例3】在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 【例4】在如图所示的斜三棱柱中，，，则“”是“”的（    ）    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【变式2-3】在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则为 . 空间向量基本定理的应用思路 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘等运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部可以用基向量表示为止． 重难点3空间直角坐标系及坐标表示 【例5】在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例6】若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【变式3-1】平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D