专题9.3 独立性检验（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

专题9.3 独立性检验（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 完善列联表】 2 【题型2 列联表的分析及应用】 3 【题型3 等高条形图】 5 【题型4 独立性检验的概念及辨析】 7 【题型5 卡方的计算】 8 【题型6 独立性检验的基本思想】 10 【题型7 独立性检验解决实际问题】 11 【题型8 独立性检验与其他知识综合】 14 知识点1 分类变量与列联表 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道两个分类变量有关系的概率大小. 【题型1 完善列联表】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（    ） A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52 【变式1-1】（2025高二下·全国·专题练习）下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（    ） 总计 a 21 73 2 25 27 总计 b 46 100 A．52、54 B．54、52 C．94、146 D．146、94 【变式1-2】（24-25高二下·江苏·课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 列联表的分析及应用】 【例2】（24-25高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-1】（2026·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 【变式2-2】（24-25高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-3】（24-25高二下·河南·月考）地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【题型3 等高条形图】 【例3】（2026高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【变式3-1】（24-25高二下·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【变式3-2】（24-25高二下·河北张家口·月考）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-3】（24-25高二下·吉林·月考）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 知识点2 独立性检验 1．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 2．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 【注】 1．独立性检验是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论可能犯错误. 【题型4 独立性检验的概念及辨析】 【例4】（24-25高二下·四川雅安·期末）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【变式4-1】（24-25高二下·河南南阳·期中）下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 【变式4-2】（24-25高二下·辽宁·期末）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 【变式4-3】（24-25高二下·山东烟台·期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【题型5 卡方的计算】 【例5】（25-26高二下·全国·单元测试）春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然兴起，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表： 性别 “光盘”行动 合计 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 附： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 参照附表，得到的正确结论是（   ） A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C．有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D．有以上的把握认为”该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【变式5-1】（24-25高二下·河北保定·月考）AI模型正在改变着我们的工作和生活方法，某机构为了了解对DeepSeek的使用情况与性别的关系，随机调查了人，得到如下列联表（单位：人）： 性别 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验认为对DeepSeek的使用情况与性别有关系，则的最小值为（   ） （附：，，） A．48 B．49 C．50 D．51 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 运动 性别 总计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 下列结论正确的是（   ） A．认为“爱好该项运用与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01 B．认为“爱好该项运用与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01 C．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.001 D．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.001 【变式5-3】（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【题型6 独立性检验的基本思想】 【例6】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）利用来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.利用独立性检验不仅可以考察两个分类变量是否有关系，而且（   ） A．能较精确的给出这种判断的可靠程度 B．得出的结论完全正确，不会出错 C．的观测值很大时（比如大于20），则得出的零假设完全正确，不会出错 D．的观测值很小时（比如小于2），则得出的零假设肯定错误 【变式6-1】（24-25高二下·天津滨海新区·月考）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是：（   ） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【变式6-2】（24-25高二下·湖北孝感·期末）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可推断（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．无法判断变量X与Y是否独立 D．变量X与Y独立 【变式6-3】（24-25高二下·天津·期中）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【题型7 独立性检验解决实际问题】 【例7】（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【变式7-1】（24-25高二下·福建厦门·期末）为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【变式7-2】（25-26高三上·湖南·月考）某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式7-3】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 a 女生 b 25 合计 100 已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为. (1)求a，b； (2)根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？ 附：， 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【题型8 独立性检验与其他知识综合】 【例8】（24-25高二下·重庆渝中·月考）某医院用a，b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据： 未治愈 治愈 合计 疗法a 15 52 67 疗法b 6 63 69 合计 21 115 136 (1)根据小概率值的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好； (2)为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于a，b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组用甲方案，B组用乙方案.一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？ 参考公式及数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，，. 【变式8-1】（24-25高二下·上海·月考）已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 【变式8-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 【变式8-3】（24-25高二下·安徽六安·期末）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 独立性检验（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 完善列联表】 2 【题型2 列联表的分析及应用】 4 【题型3 等高条形图】 7 【题型4 独立性检验的概念及辨析】 11 【题型5 卡方的计算】 13 【题型6 独立性检验的基本思想】 16 【题型7 独立性检验解决实际问题】 19 【题型8 独立性检验与其他知识综合】 23 知识点1 分类变量与列联表 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道两个分类变量有关系的概率大小. 【题型1 完善列联表】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（    ） A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52 【答案】C 【解题思路】根据联表计算求参即可. 【解答过程】因为．所以．又， 所以． 故选：C. 【变式1-1】（2025高二下·全国·专题练习）下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（    ） 总计 a 21 73 2 25 27 总计 b 46 100 A．52、54 B．54、52 C．94、146 D．146、94 【答案】A 【解题思路】根据列联表运算求解即可. 【解答过程】由题意可得，解得， 所以a、b值分别为52、54. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·江苏·课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 【答案】D 【解题思路】根据成绩优秀的概率求得，进而求得，结合比例判断出正确答案. 【解答过程】依题意，解得，由解得. 补全列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 甲班的优秀率为，乙班的优秀率为， ，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】已知抽取的老年人、年轻人各有25名，计算各个变量的值，进而得到答案. 【解答过程】因为，， ，，，， 所以，，，，． 故选：D． 【题型2 列联表的分析及应用】 【例2】（24-25高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解题思路】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大. 【解答过程】对于A， ， 对于B，， 对于C，， 对于D， 显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大, 故选:B. 【变式2-1】（2026·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 【答案】C 【解题思路】根据表格提供的数据作出判断. 【解答过程】由列联表中的数据可知， 种子经过处理，得病的比例明显降低， 种子未经过处理，得病的比例要高些， 所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解题思路】计算每个选项中的，比较大小后可得出结论. 【解答过程】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大， 对于A选项，， 对于B选项，， 对于C选项，， 对于D选项，， 显然D中最大， 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二下·河南·月考）地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到如下两个列联表，再一一分析即可. 【解答过程】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 【题型3 等高条形图】 【例3】（2026高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【解题思路】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【解答过程】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【解题思路】分析等高堆积条形图可直接得到答案. 【解答过程】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·河北张家口·月考）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【解答过程】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二下·吉林·月考）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D 【解题思路】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可. 【解答过程】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误； 对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误； 对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误； 对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确. 故选：D. 知识点2 独立性检验 1．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 2．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 【注】 1．独立性检验是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论可能犯错误. 【题型4 独立性检验的概念及辨析】 【例4】（24-25高二下·四川雅安·期末）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解题思路】根据卡方独立性检验规则，比较与临界值即可得出结论. 【解答过程】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·河南南阳·期中）下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 【答案】B 【解题思路】根据独立性检验的基本思想，即可判断选项. 【解答过程】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性， ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·辽宁·期末）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】结合，只需，即可求得答案. 【解答过程】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二下·山东烟台·期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用独立性检验的意义逐项判断即得. 【解答过程】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D. 【题型5 卡方的计算】 【例5】（25-26高二下·全国·单元测试）春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然兴起，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表： 性别 “光盘”行动 合计 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 附： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 参照附表，得到的正确结论是（   ） A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C．有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D．有以上的把握认为”该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C 【解题思路】根据统计表格中的数据，求得，结合附表，即可得到答案. 【解答过程】由统计表格中的数据，可得， 所以有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”． 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·河北保定·月考）AI模型正在改变着我们的工作和生活方法，某机构为了了解对DeepSeek的使用情况与性别的关系，随机调查了人，得到如下列联表（单位：人）： 性别 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验认为对DeepSeek的使用情况与性别有关系，则的最小值为（   ） （附：，，） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【解题思路】根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和去比较，计算即可得出结果. 【解答过程】将列联表中的数据代入公式计算得：， 解得 48.726，又， 所以的最小值为51 . 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 运动 性别 总计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 下列结论正确的是（   ） A．认为“爱好该项运用与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01 B．认为“爱好该项运用与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01 C．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.001 D．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【解题思路】由独立性检验卡方计算卡方后，结合独立性检验相关概念可得答案. 【解答过程】由公式， 由可知，认为“爱好该项运动与性别有关”， 犯错误的概率不超过0.01． 故选：A. 【变式5-3】（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解题思路】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【解答过程】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 【题型6 独立性检验的基本思想】 【例6】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）利用来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.利用独立性检验不仅可以考察两个分类变量是否有关系，而且（   ） A．能较精确的给出这种判断的可靠程度 B．得出的结论完全正确，不会出错 C．的观测值很大时（比如大于20），则得出的零假设完全正确，不会出错 D．的观测值很小时（比如小于2），则得出的零假设肯定错误 【答案】A 【解题思路】运用独立性检验的思想逐项判断即可得结论. 【解答过程】对于A ，独立性检验不仅可以判断两个分类变量是否有关联， 还能通过计算卡方统计量（）和对应的概率值， 给出这种判断的可靠程度（即显著性水平），故A正确； 对于B，独立性检验是基于概率统计的推断方法，不能保证结论完全正确， 仍有犯拒真或取伪的可能。故B错误； 对于C，的观测值很大时，仅表示拒绝零假设（变量独立）的可信度很高， 但不能保证结论“完全正确”，统计检验总有误差，故C错误； 对于D：的观测值很小时，表明没有足够证据拒绝零假设（变量独立）， 但不能说明结论“肯定错误”，可能存在样本不足或变量实际关系较弱的情况，故D错误. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·天津滨海新区·月考）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是：（   ） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【答案】C 【解题思路】根据独立检验基本思想给出结论，即可判断各项的正误. 【解答过程】由， 故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”； 但没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，也不可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·湖北孝感·期末）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可推断（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．无法判断变量X与Y是否独立 D．变量X与Y独立 【答案】D 【解题思路】由独立性检验的意义判断可得. 【解答过程】零假设为:变量X与Y独立. 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为变量X与Y独立. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二下·天津·期中）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解题思路】根据独立性检验的原理逐项判断可得答案. 【解答过程】零假设为：爱好跳绳与性别无关. A.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关.选项A正确. B. ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过.选项B错误. C.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项C错误. D. ∵， ∴在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项D错误. 故选：A. 【题型7 独立性检验解决实际问题】 【例7】（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【解题思路】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解. 【解答过程】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高二下·福建厦门·期末）为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解题思路】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案. 【解答过程】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的5倍， 则 ， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高三上·湖南·月考）某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)存在差异 【解题思路】（1）根据题意列式求解即可； （2）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论. 【解答过程】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）得， 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 120 80 200 一般 30 70 100 总计 150 150 300 零假设为：该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中不存在差异， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断，该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中存在差异. 【变式7-3】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 a 女生 b 25 合计 100 已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为. (1)求a，b； (2)根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？ 附：， 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)； (2)该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关. 【解题思路】（1）求出喜欢牛奶的人数即可依据喜欢牛奶的男生人数和喜欢豆浆的女生人数依次求出； （2）计算卡方值即可依据独立性检验思想得解. 【解答过程】（1）由题可知喜欢牛奶的人数有人，所以， 所以喜欢豆浆的人数为，所以. 所以. （2）由（1）可得统计表格如下： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 零假设该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别无关， 由表格数据得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关. 【题型8 独立性检验与其他知识综合】 【例8】（24-25高二下·重庆渝中·月考）某医院用a，b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据： 未治愈 治愈 合计 疗法a 15 52 67 疗法b 6 63 69 合计 21 115 136 (1)根据小概率值的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好； (2)为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于a，b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组用甲方案，B组用乙方案.一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？ 参考公式及数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，，. 【答案】(1)认为两种疗法效果没有差异 (2)乙种联合治疗方案更好. 【解题思路】（1）零假设为：a疗法与b疗法独立，即两种疗法效果没有差异，求出，对比临界值表即可； （2）设用甲方案治疗组中康复的人数为，积分为，则,设用乙方案治疗B组中康复的人数为，积分为，分别求出与的均值，再根据均值的性质求与的均值，比较即可. 【解答过程】（1）零假设为：a疗法与b疗法独立，即两种疗法效果没有差异， 根据列联表中数据，经过计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异. （2）设A组中用甲方案治疗康复的人数为，则， 所以， 设A组的积分为，则， 所以. 设B组中用乙方案治疗康复的人数为， 则的可能取值为：0，1，2，3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 P 所以， 设B组的积分为，则，所以. 因为5.5＞4，所以乙种联合治疗方案更好. 【变式8-1】（24-25高二下·上海·月考）已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据等可能性事件的概率和条件概率公式直接可得. （2）根据独立性检验直接可得. 【解答过程】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，. 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平. 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 【变式8-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 【答案】(1) (2)元 (3)有关． 【解题思路】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得答案； （2）由频率分布直方图估计中位数计算方式可得答案； （3）由题可得相关列联表，然后计算对应卡方进行独立性检验即可. 【解答过程】（1）由直方图知，各矩形面积之和为1， 则，解得； （2）由频率分布直方图知， 前3个矩形面积之和为：； 前4个矩形面积之和为： ， 设中位数为，∴， ∴，∴月消费金额的中位数为百元，即元； （3）故月消费金额超过2000元的大学生人数为人， 由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人， 由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，由条件可以列出列联表： 男生 女生 合计 消费金额不超过2000元 500人 250人 750人 消费金额超过2000元 100人 150人 250人 合计 600人 400人 1000人 提出零假设：月消费金额在2000元以上的大学生与性别无关． 故， 所以在犯错的概率不超过的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关． 【变式8-3】（24-25高二下·安徽六安·期末）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为参数调试与产品质量无关联 (2)的分布见解析， (3) 【解题思路】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【解答过程】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则 故的分布为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故， 则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 由可解得， 即当时，． 故当事件“”的概率最大时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $