湖南省长沙市浏阳市重点校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷

湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（　　） A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数，则z的虚部是（　　） A． B． C． D． 3．（5分）已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 4．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　） A．a⊂α，b⊂β，α∥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊥α，b∥β，α⊥β D．a⊥α，b⊥β，α⊥β 5．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（　　） A． B． C． D． 6．（5分）已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为上底面圆弧的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知，，均为单位向量，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）如图为函数的图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则（+）•（+）的值为（　　） A．π﹣2 B．π+4 C．π2﹣2 D．π2+4 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） （多选）9．（5分）以下结论正确的有（　　） A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 （多选）10．（5分）以下命题正确的是（　　） A．3+2i＞1+i B．i+i2+i3+i4＝0 C．若复数z满足z＝﹣3+4i，则z对应的点在第四象限 D．a＝0是复数z＝a+bi（a∈R，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件 （多选）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的有（　　） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有一解 C．已知△ABC的外接圆的圆心为O，，，M为BC上一点，且有， D．若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC （多选）12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是AD1的中点，点Q是直线CD1上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．△PBD是直角三角形 B．异面直线PD与CD1所成的角为 C．当AB的长度为定值时，三棱锥D﹣PBQ的体积为定值 D．平面PBD⊥平面ACD1 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝1，•（）＝2，则||＝　 　． 14．（5分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 　 　.（结果用坐标表示） 15．（5分）已知函数f（x）＝t•x2﹣2x+3t，若∀x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是 　 　． 16．（5分）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为　 　． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若a＝2c，△ABC的面积为，求b． 18．（12分）已知向量＝（﹣2，2），＝（4，3）． （1）若向量∥，且＝3，求的坐标； （2）若向量+k与﹣k互相垂直，求实数k的值． 19．（12分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积． 20．（12分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝． （1）若CE＝，求AE的长； （2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水