2024年九年级中考数学复习专题18 三角形基础讲义

专题18 三角形基础 夯实基础 一、三角形有关概念 1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形． 2．三角形的基本元素： （1）三角形的三条边：即组成三角形的线段． （2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角． （3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点． 3．三角形的特征： （1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形． 4．三角形的符号： 三角形用符号“△”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义； ②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示． ③平时所说的三角形的角是指三角形的内角． ④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等． 二、三角形的分类 1．按边分类： 2．按角分类： 【注意】三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形． 三、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边． 推论：三角形任意两边之差小于第三边． 四、三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． 如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． 如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线． 推理语言 ∵是的高， ∴， （或）． ∵是的中线， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 用途举例 （1）得到线段垂直； （2）得到角相等． （1）得到线段相等； （2）得到面积相等． 得到角相等． 线段在图中的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内． 三条中线全在三角形内． 三条角平分线全在三角形内． 直角三角形 三角形内一条，另外两条与两直角边重合． 钝角三角形 三角形内一条，三角形外两条． 线段（或其所在直线）的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内． 三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）． 交点在三角形内． 直角三角形 交点在直角顶点处． 钝角三角形 交点在三角形外． 共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段． 五、三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 六、三角形的内角 1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形． （2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 七、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 【拓展】 （1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． （2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°． 八、直角三角形的性质与判定 1．直角三角形的两个锐角互余． 2．有两个角互余的三角形是直角三角形． 【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． 九、多边形及其内角和 1．多边形及其相关概念 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形． （2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的对角线 （1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）规律总结： ①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ②n边形共有条对角线． 3．凸多边形与正多边形 （1）凸多边形：画出多边形