2024年九年级中考数学复习专题15 二次函数讲义

专题15 二次函数 夯实基础 1．二次函数的概念 一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2．二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）． 3．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值= k 当x= h时，y最大值= k 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （， （，） 对称轴 x= x= 增减性 x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小 x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 5．待定系数法求二次函数解析式的步骤： （1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式． 6．二次函数的平移 解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0） 分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0 变换过程 由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 7．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 8．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 9．建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题． 吃透考点 1．二次函数的概念 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 注意： （1）二次项系数a≠0； （2）ax2＋bx＋c必须是整式； （3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； （4）自变量x的取值范围是全体实数． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象及性质 图象 （a＞0） （a＜0） 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值 3．二次函数的性质 （1）抛物线的顶点式，对称轴是平