2024年九年级中考数学复习 专题29 尺规作图讲义

专题29 尺规作图 夯实基础 一、尺规作图的定义 在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图． 二、五种基本作图 1．作一条线段等于已知线段． 已知：如图，线段a ． 求作：线段AB，使AB = a ． 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a ．则线段AB就是所求作的图形． 2．求作一个角等于已知角． 求作一个角等于已知角∠MON．（SSS） （1）作射线； （2）在图（1）上，以O为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B； （3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C； （4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D； （5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角． 3．作一条线段的垂直平分线． 已知：如图，线段MN． 求作：ＭＮ的垂直平分线． 作法：（1）分别以M、N为圆心，大于线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （2）连接PQ交MN于O． 则PQ就是所求作的MN的垂直平分线． 4．过一点作已知直线的垂线． 如下图，已知△ABC，求作：BC边上的高 分析 作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线； 作法 如下图①以点A为圆心，适合的长度为半径画弧，交直线CB于G、H两点； ②分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点； ③作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高． 5．作已知角的角平分线． 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP， 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）． 作法：（1）以O为圆心，恰当的长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M，Ｎ为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交∠AOB内于P； （3）作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线． 三、常用结论 1．垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 2．角平分线上的点到角两边的距离相等． 吃透考点 1．作图题的一般步骤 （1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论． 其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹． 2．尺规作图的关键 （1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； （2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题． 3．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形 求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角． 4．根据基本图形作三角形 （1）已知三角形的三边，求作三角形； （2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； （3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； （4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； （5）已知直角三角形-直角边和斜边，求作直角三角形． 5．与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）； （2）作三角形的内切圆． 方 法 技 巧 点 拨 1．掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 2．用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把分割成两个等腰三角形． 考点1 作图—尺规作图的定义 【例1】（2023•遵化市模拟）下列尺规作图的语句正确的是　　 A．延长射线到 B．延长线段至，使 C．作直线 D．以点为圆心，任意长为半径画弧 【答案】 【分析】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【解答】解：．根据射线是从向无限延伸，故延长射线到是错误的；不符合题意； ．延长线段至，则，故使是错误的；不符合题意； ．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的；不符合题意； ．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点为圆心，任意长为半径画弧是正确的；符合题意； 故选：． 【变式练1】（2023•盘锦一模）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】．由作法知，可判断；．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；．由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断． 【解答】解：．由作法知， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．由作法知所作图形是线段的垂直平分线， 不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意； 由作法知，所作图形是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．，， ， 由作法知是的平分线， ， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意