精品解析：重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题

2023-2024学年（下）期中学业质量联合调研抽测 高一数学试题 （分数：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则实数（ ） A. 1 B. -3 C. -2 D. -1 2. 在，，0，，，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量、的夹角为60°，，若，则= A B. C. D. 4. 已知向量，，，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 21 5. 在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（ ） A. B. C. D. 7. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ） A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B. 若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为 C. 勒洛四面体的体积是 D. 勒洛四面体内切球的半径是 8. 在中，为上一点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分. 9. 下列命题中，真命题为（ ） A. 复数为纯虚数的充要条件是 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数，则 10. 已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 一定存在实数，使得成立 B. 若，那么一定有 C. 若，那么 D. 若，那么，，一定相互平行 11. 在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ）． A. 四面体的体积的最大值是 B. 的取值范围是 C. 四面体的表面积的最大值是 D. 当时，球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的模是_____________. 13. 在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是______. 14. 已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对边分别为已知. （1）求角的大小; （2）若，求面积; （3）若为BC的中点，求AD的长. 16. 设复数． （1）在复平面内，复数对应点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求. 17. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求点M到平面的距离； （2）判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 18. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形． （1）设为中点，点在线段上，且，求证：平面； （2）若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值． 19. 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． （3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年（下）期中学业质量联合调研抽测 高一数学试题 （分数：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且，则实数（ ） A. 1 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，由知，列出方程即可求出m. 【详解】，因为，所以，即，解得. 故选：B 2. 在，，0，，，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数为纯虚数的条件，判断出纯虚数的个数. 【详解】复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零，故 ，是纯虚数，共个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数为纯虚数的条件，属于基础题. 3