2024年九年级中考数学复习专题20 等腰三角形讲义

专题20 等腰三角形 夯实基础 一、等腰三角形 1．等腰三角形概念： 有两边相等的三角形角等腰三角形． 2．等腰三角形性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（三线合一） 3．等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 二、等边三角形 1．等边三角形概念 三条边都相等的三角形，叫等边三角形．它是特殊的等腰三角形． 2．等边三角形性质和判定 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形． 三、直角三角形 1．直角三角形性质 （1）直角三角形的两锐角互余； （2）直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半； （3）直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半． 2．直角三角形判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形． 3．勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 吃透考点 一、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： 1．等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． 2．等腰三角形两底角的平分线相等． 3．等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 4．当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 二、等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： 1．定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 三、等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 四、等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 五、含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】1．该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4．在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 方 法 技 巧 点 拨 1．等腰三角形 （1）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合． （2）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 2．等边三角形 （1）判定等边三角形时常用的选择方法： 若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形； 若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形； 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 3．含30°角的直角三角形 （1）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据． 考点1 等腰三角形的性质 【例1】（2023•东方模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算