2024年九年级中考数学复习专题19 全等三角形讲义

专题19 全等三角形 夯实基础 一、全等形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 1．全等形的形状相同，大小相等． 2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． 3．判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 二、全等三角形 1．全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． 3．全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 吃透考点 一、全等图形、全等三角形 1．全等图形的概念 能完全重合的图形叫做全等图形． 特征：①形状相同；②大小相等；③对应边相等、对应角相等． 2．全等三角形的概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 二、全等三角形的性质与判定 1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定： （1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）； （2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）； （3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）； （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 4．角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等． 方 法 技 巧 点 拨 1．全等形： （1）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较． （2）全等形的形状相同，大小相等． 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键． 4．全等三角形的性质 （1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等． （2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题． 5．判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 6．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有 （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． 考点1 全等图形 【例1】（2012•杏花岭区模拟）用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 （不 包含菱形、 矩形、 正方形） ；②矩形；③正方形；④等腰三角形， 其中一定可以拼成的图形的是　　 A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④ 【解答】解： 两个全等的直角三角形， 一定可以拼成平行四边形 （直 角边重合， 两直角不邻） ，等腰三角形 （直 角边重合， 两直角相邻） ，以及矩形 （斜 边重合） ； 若为等腰直角三角形， 则可拼成正方形； 所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成 ． 故选：． 【变式练1】（2012•温州模拟）在如图所示的方格中，连接、，则　90　度． 【