2024年九年级中考数学复习专题25 特殊四边形讲义

专题25 特殊四边形 夯实基础 一、矩形 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的四边形是矩形． 二、菱形 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． （5）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半． 3．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 三、正方形 1．正方形的定义： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质： （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形， 对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 3．正方形的判定： （1）根据正方形的定义； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 吃透考点 1．矩形 （1）矩形的两条对角线将矩形分为面积相等的四个等腰三角形． （2）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线． （3）矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． （4）矩形中对角线构造的等腰三角形 由于矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，在计算角的度数时可利用等腰三角形的性质进行解题． 2．菱形 （1）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形． （2）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴且对称轴是菱形的两条对角线所在的直线． （3）菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． （4）菱形与“勾股定理”： 因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形．在求线段的长度时，可借助勾股定理求解． （5）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形； （6）三条边相等的四边形不一定是菱形． 3．正方形 （1）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． （2）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴且对称轴分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线． （3）正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． （4）正方形与等腰三角形 由于正方形中有很多的线段相等，等腰三角形中也有很多的线段相等，所以它们联手会得到更多的等腰三角形在计算角的度数时可利用等腰三角形的性质进行求解． 4．梯形 一组对边平行，另一组对拓展边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的一组对边叫做梯形的底，不平行的一组对边叫做梯形的腰． 5．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 方 法 技 巧 点 拨 1．矩形 （1）不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，