第二章 坐标法-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】 坐标法 一．选择题（共22小题） 1．在平面内，过定点P的直线mx+y﹣1＝0与过定点Q的直线x﹣my+3＝0相交于点M，则|MP||MQ|的最大值是（　　） A． B． C．10 D．5 2．点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（　　） A．0 B．1 C． D．2 3．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　） A．2 B．8 C．4 D．10 4．原点关于直线8x+6y＝25的对称点坐标为（　　） A．（） B．（） C．（3，4） D．（4，3） 5．直线x＝a（a＞0）分别与曲线y＝2x+1，y＝x+lnx相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），B（0，﹣3），点M满足，x+y＝1，点N为曲线y＝上的动点，则|MN|的最小值为（　　） A．﹣1 B． C． D．﹣1 7．在一个平面上，机器人甲到与点C（2，﹣3）距离为5的地方绕C点顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变，机器人乙在过点A（﹣8，0）与B（0，6）的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（　　） A． B． C． D． 8．已知点A（3，2，3），B（1，1，4），则A、B的中点的坐标为（　　） A． B． C．（4，3，7） D． 9．已知点A（2，1），点B在直线x﹣y+3＝0上，则|AB|的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 10．已知点O（0，0），点P满足|PO|＝1．若点A（t，4），其中t∈R，则|PA|的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 11．已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x﹣my+m﹣2＝0和过定点B的动直线l2：y﹣4＝﹣m（x+2）交于点P（P与A，B 不重合），则|PA|+|PB|的最大值为（　　） A．5 B．5 C．5 D．5 12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2＝上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2＝上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　） A．1 B．﹣2 C．2+ D．2 13．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P（a，b）．若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，则该坐标系中M（2，2）和N（4，1）两点间的距离为（　　） A．2 B．1 C． D． 14．已知O为原点，B（4，﹣3，﹣5），C（0，5，1），则△OBC的边BC上的中线长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．已知点A（3，0），O为坐标原点，动点M满足|MA|＝2|MO|，P，Q为直线l：y＝x﹣3上的两点，且对任意的点M都有∠PMQ≥，则线段PQ长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．在直角坐标系xOy中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长为（　　） A． B．1 C．5 D．或1 17．在平面直角坐标系xOy中，定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的折线距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，该距离也称曼哈顿距离．已知点M（2，0），N（a，b），若d（M，N）＝2，则a2+b2﹣4a的最小值与最大值之和为（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 18．已知圆M过A（﹣3，1），B（﹣2，4），C（7，1）三点，则|MB|＝（　　） A． B． C．5 D． 19．设m∈R，若过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点p（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（　　） A． B．.2 C．.3 D．.5 20．已知A（4，1，3），B（﹣2，4，3），则线段AB中点的坐标是（　　） A． B． C． D． 21．已知A（﹣4，0），B（4，0），动点M（x，y）满足，则△MAB面积的最大值为（　　） A．24 B．15 C．12 D．6 22．三角形的三个顶点为A（2，﹣1），B（3，2），C（﹣5，4），则△ABC的中线AD的长为（　　） A．3 B．5 C．9 D．25 二．多选题（共8小题） （多选）23．若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于（　　） A．14 B．5 C．12 D．13 （多选）24．已知点P是直线上3x﹣4y+5＝0的动点，定点Q（1，1），则下列说法正确的是（　　） A．线段PQ的长度的最小值为 B．当PQ最短时，直线PQ的方程是3x+4y﹣7＝0 C．当PQ最短时P的坐标为 D．线段PQ的长度可能是 （多选）25．已知P（m，1），Q（1，2m）两点之间的距离大于，则实数m的值可以为（　　） A．﹣1 B． C．2 D．3 （多选）26．下列各点中，到原点的距离小于10的点有（　　） A．（1，9） B．（﹣6，8） C．（7，﹣2） D．（2，4） （多选）27．若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：5x﹣12y+2＝0与l2：5x﹣12y+8＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离可能为（　　） A． B． C． D． （多选）28．已知点A（1，1）和点B（4，3），P是直线x﹣y+1＝0上的一点，则|PA|+|PB|的可能取值是（　　） A． B． C． D． （多选）29．设点A的坐标为（4，3），点P在曲线y＝2上移动、点F的坐标为（1，0），则|PA|+|PF|的值可以为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 （多选）30．已知A（2，1）、B（﹣1，b），|AB|＝5，则b的可取值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D．﹣1 三．填空题（共10小题） 31．若直线y＝a分别与f（x）＝ex﹣1，g（x）＝ln（x﹣1）的图象交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为　 　 32．设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0与过定点B的动直线mx﹣y﹣2m+4＝0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是　 　． 33．直线l：x﹣2y﹣8＝0和A（﹣2，0），B（2，4）两点，若直线l上存在点M使得|MA|+|MB|最小，求点M的坐标 　 　． 34．直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0，l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段中点为P（﹣1，2），则直线l的方程为 　 　． 35．已知点A（1，1），B（﹣1，5），则线段AB中点C的坐标为 　 　． 36．已知点P（2，3），点Q是直线上l：3x+4y+2＝0的动点，则|PQ|的最小值为 　 　． 37．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝6，⊙M过点A，B且与直线x+3＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为 　 　． 38．已知动点P，Q分别在圆M：（x﹣lnm）2+（y﹣m）2＝和曲线y＝lnx上，则|PQ|的最小值为 　 　． 39．若半径为3的圆经过点（6，8），则其圆心到原点的距离的最小值为 　 　． 40．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C，P分别为线段AB，OA上的动点，当PC+PD值最小时，点C的坐标为 　 　． 四．解答题（共13小题） 41．设P0，P1，⋯，Pn是平面上n+1个点，其两两间的距离的最小值为d（d＞0）．证明：|P0P1||P0P2|⋯|P0Pn|＞． 42．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2＝2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （Ⅰ）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （Ⅱ）求线段BC中点M的坐标 （Ⅲ）求BC所在直线的方程． 43．已知平面向量、、满足条件++＝，||＝||＝||＝1． （1）求证：△P1P2P3是正三角形； （2）试判断直线OP1与直线P2P3的位置关系，并证明你的判断． 44．在y＝2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，求点P的坐标． 45．动点P（x，y）在线段AB上移动，其中A（﹣3，0），B（0，3），求： （1）的取值范围； （2）的最小值及此时P点的坐标． 46．已知点A（﹣1，1），B（2，0），C（0，3），证明：△ABC是锐角三角形． 47．点M（x，y）为抛物线y2＝4x上的动点，A（a，0）为定点，求|MA|的最小值． 48．已知A（0，1），B（1，0），C（﹣3，﹣2）三点． （Ⅰ）证明△ABC是直角三角形； （Ⅱ）求△ABC的面积S； （Ⅲ）试在x轴上找一点P使|PC|﹣|PA|最大（不必证明），求出P点的坐标． 49．已知点A（1，﹣1），B（2，2），点P在直线y＝x上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标． 50．设在二维平面上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），它们之间的距离有一个新的定义为D（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离． （1）已知A，B两个点的坐标为A（2x，1），B（3，2），如果D（A，B）≤3，那么x的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点的坐标为A（x，2x），B（1，4），如果D（A，B）＝|3x﹣5|，那么x的取值范围是多少？ （3）已知A，B两个点的坐标为A（x，x），B（3，a），如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少？ 51．已知直线l：x﹣2y+8＝0和点A（2，0），B（﹣2，﹣4）． （1）在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|的值最小； （2）在直线l上求一点P，使||PB|﹣|PA||的值最大． 52．（1）已知圆的方程是（x+4）2+（y﹣2）2＝9，求经过点P（﹣1，5）的切线方程． （2）点P是椭圆+＝1上的动点，A（1，0），求PA的最大、小值． 53．有一种商品A、B两地都有出售，且两地的价格相同，但是某地区的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地的3倍．已知A、B两地的距离是10千米．顾客购买这种商品，选择从A地或者B地买的标准是，包括运费在内的总费用比较便宜．求A地的购物影响区域的面积（某地的购物影响区域是指选择到该地购买商品的地区）． 精选易错题练习—【第二章】 坐标法 参考答案与试题解析 一．选择题（共22小题） 1．【答案】D 【分析】由已知得P（0，1），Q（﹣3，0），过定点P的直线mx+y﹣1＝0与过定点Q的直线x﹣my+3＝0垂直，M位于以PQ为直径的圆上，由此能求出|MP||MQ|的最大值． 【解答】解：∵在平面内，过定点P的直线mx+y﹣1＝0与过定点Q的直线x﹣my+3＝0相交于点M， ∴P（0，1），Q（﹣3，0）， ∵过定点P的直线mx+y﹣1＝0与过定点Q的直线x﹣my+3＝0垂直， ∴M位于以PQ为直径的圆上， ∵|PQ|＝， ∴|MP|2+|MQ|2＝10≥2•|MP||MQ|， ∴|MP||MQ|≤5． ∴|MP||MQ|的最大值为5． 故选：D． 2．【答案】B 【分析】直接求距离的表达式，然后求最值． 【解答】解：点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的距离： ∵t2+1≥1 故选：B． 3．【答案】C 【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x＝0，即可得出结论． 【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则， ∴D＝﹣2，E＝4，F＝﹣20， ∴x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0， 令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0， ∴y＝﹣2±2， ∴|MN|＝4． 故选：C． 4．【答案】D 【分析】设出原点与已知直线的对称点A的坐标（a，b），然后根据已知直线是线段AO的垂直平分线，得到斜率乘积为﹣1且AO的中点在已知直线上分别列出两个关于a与b的方程，联立两个方程即可求出a与b的值，写出A的坐标即可． 【解答】解：设原点关于直线8x+6y＝25的对称点坐标为A（a，b），直线8x+6y＝25的斜率k＝﹣， 因为直线OA与已知直线垂直，所以kOA＝＝，即3a＝4b①； 且AO的中点B在已知直线上，B（，），代入直线8x+6y＝25得：4a+3b＝25②， 联立①②解得：a＝4，b＝3．所以A的坐标为（4，3）． 故选：D． 5．【答案】B 【分析】令f（x）＝2x+1﹣x﹣lnx＝x﹣lnx+1，求得导数和单调区间、极值且为最值，即可得到所求最小值． 【解答】解：令f（x）＝2x+1﹣x﹣lnx＝x﹣lnx+1， 则f′（x）＝1﹣， ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴当x＝1时，即a＝1时，f（x）取得最小值f（1）＝2， ∴|AB|的最小值为2． 故选：B． 6．【答案】C 【分析】先求出直线AB的方程，然后利用向量的结论得到M在直线AB上，利用点N在曲线上，作出图形结合点到直线的距离公司求解即可． 【解答】解：因为A（3，0），B（0，﹣3），所以直线AB的方程为y＝x﹣3 又因为点M满足，x+y＝1， 故点M，A，B三点共线，即M在直线AB上， 点N在曲线y＝上，即点N在曲线：（x+1）2+y2＝1（y≥0）上， 作出图形如图所示， 所以|MN|的最小值为点O到直线y＝x﹣3的距离，故最小值为． 故选：C． 7．【答案】D 【分析】由题意可得机器人机器人甲的运行轨迹为（x﹣2）2+（y+3）2＝25，机器人乙的运行轨迹为直线AB的方程为3x+4y﹣24＝0，求出圆心到直线的距离，即可求出答案． 【解答】解：∵机器人到与点C （2，﹣3）距离为5的地方绕C点顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变， ∴机器人甲的运行轨迹为（x﹣2）2+（y+3）2＝25， ∵A（﹣8，0），B（0，6） ∴机器人乙的运行轨迹为直线AB的方程为3x+4y﹣24＝0， 机器人甲与机器人乙的最近距离d﹣r， 则圆心C到直线AB的距离为d＝＝， 则﹣5＝ 故选：D． 8．【答案】B 【分析】根据中点坐标公式求解． 【解答】解：因为A（3，2，3），B（1，1，4）， 所以中点． 故选：B． 9．【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式即得解． 【解答】解：|AB|的最小值即为点A到直线x﹣y+3＝0的距离， 即． 故选：C． 10．【答案】C 【分析】由题意可得点P的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，点A在直线y＝4上，|PA|的最小值为圆心到直线的距离减去半径． 【解答】解：由题意可得点P的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 由点A（t，4），可得点A在直线y＝4上， |PA|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即4﹣1＝3． 故选：C． 11．【答案】C 【分析】由两点间的距离公式，结合重要不等式求解即可． 【解答】解：由直线l1：x﹣my+m﹣2＝0可变形为（1﹣y）m+（x﹣2）＝0， 由，则直线线l1过定点A（2，1）， 同理直线l2：y﹣4＝﹣m（x+2）过定点B（﹣2，4）， 又1×（﹣m）+（﹣m）×（﹣1）＝0， 即直线l1与直线l2垂直， 即PA⊥PB， 则|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝25， 又，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号， 则|PA|+|PB|， 即|PA|+|PB|的最大值为， 故选：C． 12．【答案】D 【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN﹣PM的最大值转化为PO2﹣PO1+1的最大值，再利用PO2﹣PO1＝PO2﹣PO1′≤O1′O2＝1，即可求出对应的最大值． 【解答】解：如图所示， 圆O1：x2+（y﹣1）2＝的圆心O1（0，1）， 圆O2：（x﹣2）2+y2＝的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是； 要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小， 由图可得，PN最大值为PO2+， PM的最小值为PO1﹣， 故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）＝PO2﹣PO1+1， 点P（t，t）在直线 y＝x上，O1（0，1）关于y＝x的对称点O1′（1，0）， 直线O2O1′与y＝x的交点为原点O， 则PO2﹣PO1＝PO2﹣PO1′≤O1′O2＝1， 故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1＝2， 即|PN|﹣|PM|的最大值为2． 故选：D． 13．【答案】D 【分析】利用向量的求模公式，结合向量的数量积运算，求解即可． 【解答】解：设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为， 则＝2+2，＝4+， 则＝﹣＝2﹣， ∴＝＝4+﹣4•＝4+1﹣4×1×1×＝3， ∴|MN|＝． 故选：D． 14．【答案】B 【分析】由中点坐标公式和距离公式求解． 【解答】解：线段BC的中点坐标为， 则△OBC的边BC上的中线长为． 故选：B． 15．【答案】D 【分析】由已知求得M的轨迹C的方程，画出图形，结合∠PMQ≥，得圆C内含于或内切于以PQ为直径的圆，问题转化为|PQ|≥2|CN|+4，再求出|CN|的最小值得答案． 【解答】解：设M（x，y），∵|MA|＝2|MO|，∴|MA|2＝4|MO|2， 则（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2）， 可得动点M的轨迹为圆C：（x+1）2+y2＝4， ∵∠PMQ≥，∴圆C内含于或内切于以PQ为直径的圆， 设PQ的中点为N，则|CN|≤，即|PQ|≥2|CN|+4， 又|CN|的最小值为， ∴线段PQ长度的最小值为． 故选：D． 16．【答案】B 【分析】设t＝m2+n2（t≥0），原方程转化成t2+4t﹣5＝0，通过解新的方程求得t即可求得答案 【解答】解：令t＝m2+n2（t≥0）， 所以由（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8可得（t+1）（t+3）＝8， 整理可得t2+4t﹣5＝0即（t+5）（t﹣1）＝0， 解得t1＝1或t2＝﹣5（舍去）， 所以m2+n2＝1， 所以． 故选：B． 17．【答案】B 【分析】利用新定义，求解a，b的关系，然后转化求解不等式的最大值即可． 【解答】解：点M（2，0），N（a，b），若d（M，N）＝2， 可得|a﹣2|+|b|＝2， a2+b2﹣4a＝（a﹣2）2+b2﹣4 ＝|a﹣2|2+|b|2﹣4 ＝（|a﹣2|+|b|）2﹣2|a﹣2||b|﹣4 ＝﹣2|a﹣2||b|， 2＝|a﹣2|+|b|≥2，当且仅当|a﹣2|＝|b|时，取等号． 所以|a﹣2||b|≤1， |a﹣2||b|的最小值为0，最大值为1， ﹣2|a﹣2||b|的最小值为﹣2，最大值为0， a2+b2﹣4a的最小值与最大值之和为﹣2． 故选：B． 18．【答案】C 【分析】设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将对应的三点代入该方程，即可求解． 【解答】解：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， ∵圆M过三点A（﹣3，1），B（﹣2，4），C（7，1）， ， 解得D＝﹣4，E＝﹣2，F＝﹣20， 故圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣20＝0， 即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25， 故M的圆心为（2，1）， 所以． 故选：C． 19．【答案】A 【分析】先求出A，B，然后结合直线垂直的斜率关系及基本不等式即可求解． 【解答】解：由题意得A（0，0），B（1，2）， 当m≠0时，动直线x+my＝0的斜率为﹣，动直线mx﹣y﹣m+2＝0的斜率为m，且m•（﹣）＝﹣1， 故PA⊥PB， 当m＝0时，x＝0与y＝2显然垂直，即PA⊥PB， 则|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝5， 所以|PA|•|PB|≤＝，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号． 故选：A． 20．【答案】A 【分析】根据题意，由A、B的坐标，结合中点坐标公式直接计算即可． 【解答】解：根据题意，A（4，1，3），B（﹣2，4，3）， 则线段AB中点的坐标是，即． 故选：A． 21．【答案】C 【分析】利用椭圆的第二定义得出椭圆的方程即可求解． 【解答】解：因为点M（x，y）满足， 所以根据椭圆的第二定义：点M（x，y）的轨迹是以（﹣4，0）为焦点，x＝为准线的椭圆， 即c＝4，，故a2＝25．b2＝a2﹣c2＝9，即b＝3， 因为， 所以＝4hM， 因为点M在椭圆上， 所以hM≤b＝3， 所以S△MAB≤12． 故选：C． 22．【答案】B 【分析】根据题意求出D点的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：因为B（3，2），C（﹣5，4）， 所以BC的中点为D（﹣1，3）， 又因为A（2，﹣1）， 所以． 故选：B． 二．多选题（共8小题） 23．【答案】BCD 【分析】由两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：由已知条件可得， 则它们之间的距离d的取值范围为（0，13]， 故选：BCD． 24．【答案】AC 【分析】设P（x，y），则y＝x+，利用两点间距离以及二次函数的性质即可判断求解． 【解答】解：设P（x，y），则y＝x+， 所以|PQ|＝＝＝＝≥， 所以当x＝时，|PQ|min＝，A正确，D错误， 此时P（，），C正确； 当PQ最短时，直线PQ与直线3x﹣4y+5＝0垂直，方程是4x+3y﹣7＝0，则B错误． 故选：AC． 25．【答案】AD 【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：P（m，1），Q（1，2m）两点之间的距离大于， 则，化简整理可得，5m2﹣6m﹣8＞0，解得m＞2或m＜﹣， 结合选项可知，实数m的值可以为﹣1或3． 故选：AD． 26．【答案】AC 【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：对于A，，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误． 故选：AC． 27．【答案】BCD 【分析】由题意可得AB的中点M的轨迹为与直线l1和直线l2平行且距离相等的直线，由已知可求得AB的中点M的轨迹方程，然后求出原点到直线的距离，即可得AB的中点M到原点的距离的最小值，由此分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，AB的中点M的轨迹为与直线l1和直线l2平行且距离相等的直线， 设M的轨迹方程为5x﹣12y+m＝0， 则有＝，解可得m＝5， 即M的轨迹方程为5x﹣12y+5＝0， 则坐标原点到直线x﹣2y+m＝0的距离d＝＝； 故AB的中点M到原点的距离的最小值为，分析选项：，和都符合， 故选：BCD． 28．【答案】ABC 【分析】设点A（1，1）关于直线x﹣y+1＝0的对称点C（m，n），可得，解得m，n，可得C坐标，求出|BC|，则|BC|≤|PA|+|PB|，即可得出结论． 【解答】解：设点A（1，1）关于直线x﹣y+1＝0的对称点C（m，n）， 则，解得m＝0，n＝2， ∴C（0，2）． ∴|BC|＝＝≤|PA|+|PB|， 因此|PA|+|PB|的可能取值是ABC． 故选：ABC． 29．【答案】BCD 【分析】转化为抛物线问题，利用抛物线的定义转化成三点共线时|PA|+|PF|的值最小． 【解答】解：y＝2两边平方，即为y2＝4x，取x轴上方的图象， 准线方程为x＝﹣1，过点P作准线的垂线，垂足为点M， 由抛物线定义可得：|PF|＝|PM|， 则|PA|+|PF|＝|PA|+|PM|，由图可知： 当点A、P、M三点共线时，|PA|+|PM|最小，此时|AM|＝5， 则|PA|+|PF|的最小值为5，|PA|+|PF|的值可以为5，6，7． 故选：BCD． 30．【答案】AB 【分析】根据条件及两点间的距离公式可得出，然后解出b的值即可． 【解答】解：∵A（2，1）、B（﹣1，b），|AB|＝5， ∴，解得b＝﹣3或5． 故选：AB． 三．填空题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】（解法1）根据f（x）、g（x）的图象与性质，令f（x1）＝g（x2）＝a，计算x2﹣x1的值，再构造函数并求其最小值即可． （解法2）设y＝f（x﹣t）＝ex﹣t﹣1与g（x）有公切点P（x0，y0），则t＝|AB|min，由构造函数求最小值即可． 【解答】解：（解法1）f（x）在R上单调递增，g（x）在（1，+∞）上单调递增； ∴f（x1）＝g（x2）＝a∈（﹣1，+∞）； ∴x2﹣x1＝（ea+1）﹣ln（a+1）＝h（a）， h′（a）＝ea﹣在（﹣1，+∞）单调递增，且h′（0）＝0； ∴h（a）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； ∴h（a）min＝h（0）＝2， 即|AB|min＝2． （解法2）设y＝f（x﹣t）＝ex﹣t﹣1与g（x）有公切点P（x0，y0）， 则t＝|AB|min； 由， 得， ∴﹣1＝ln（x0﹣1）， ∴ln（x0﹣1）﹣+1＝0； 令h（x）＝ln（x﹣1）﹣+1，x∈（1，+∞）， 显然h（x）在（1，+∞）上单调递增，且h（2）＝0； ∴x0＝2，t＝2， 即|AB|min＝2． 故答案为：2． 32．【答案】10． 【分析】分别求出直线过的定点，再利用两直线垂直的关系求出|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝22+42＝20，再利用基本不等式即可求解． 【解答】解：直线x+my＝0过定点A（0，0）， 直线mx﹣y﹣2m+4＝0过定点B（2，4），且两直线始终垂直， 而P又是两直线的交点，则PA⊥PB， 即|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝22+42＝20， 所以|PA||PB|， 当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号， 此时|PA||PB|的最大值为10， 当P与A或B重合时，|PA||PB|＝0， 所以|PA||PB|的最大值为10， 故答案为：10． 33．【答案】（2，﹣3）． 【分析】如图，作出点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于M，求出点A'的坐标，再求出直线A'B的方程，再与直线l的方程联立可求出点M的坐标． 【解答】解：如图，作出点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于M， 则|MA|＝|MA'|， 所以|MA|+|MB|＝|MA'|+|MB|≥|A'B|，当A'，B，M三点共线时取等号， 即A'，B，M三点共线时，|MA|+|MB|最小， 设A′（a，b），则，解得，即A'（2，﹣8）， 因为B（2，4），所以直线A'B为x＝2， 由，得，即M（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】首先设出直线l与直线l1和l2的交点坐标，然后根据中点坐标得出＝﹣1，＝2求出a和b的值，即可求出交点坐标，进而得出直线方程． 【解答】解：设l与l1的交点坐标是：A（a，y1）， l与l2的交点坐标是：B（b，y2）， ∴y1＝﹣4a﹣3；y2＝﹣1 由中点坐标的定义，＝﹣1 ＝2 即a+b＝﹣2 （﹣4a﹣3）+（3b/5﹣1）＝4 解得：a＝﹣2，b＝0∴A（﹣2，5），B（0，﹣1）∴l的方程为：3x+y+1＝0 故答案为3x+y+1＝0 35．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用中点坐标公式求解． 【解答】解：∵点A（1，1），B（﹣1，5）， ∴线段AB中点C的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 36．【答案】4． 【分析】|PQ|的最小值即为点P到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解． 【解答】解：|PQ|的最小值即为点P到直线l的距离， 故|PQ|的最小值为． 故答案为：4． 37．【答案】（）． 【分析】先利用已知条件求出点M的轨迹方程，会发现点M的轨迹是抛物线，利用抛物线的定义即可求出点P． 【解答】解：设M（x，y），由已知得⊙M的半径为r＝|x+3|，|AO|＝3． 因为AB是圆的弦且O是弦的中点，所以OM⊥OA， 则OM2+OA2＝r2，故可得x2+y2+9＝（x+3）2， 化简得M的轨迹方程为y2＝6x． 由M的轨迹方程可知该抛物线的焦点F为（，0），准线为x＝﹣． 则M到焦点的距离等于M到准线的距离，该距离|MF|＝x+， 又MA＝r＝|x+3|，由抛物线方程可知x≥0，则|MA|＝x+3， 显然|MA|﹣|MF|＝，是定值，所以当点P与点F重合时， |MA|﹣|MP|为定值，此时点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 38．【答案】． 【分析】设M（x，y），则，得出圆心轨迹为y＝ex，由函数y＝ex与函数y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，结合导数的几何意义可得|PQ|的最小值为，进而确定|PQ|的最小值． 【解答】解：因为圆M：（x﹣lnm）2+（y﹣m）2＝， 设M（x，y），则， 所以y＝ex， 即圆心M在曲线y＝ex上运动， 易知，函数y＝ex与函数的图象y＝lnx关于直线y＝x对称， 而曲线f（x）与直线y＝x+1相切于点A（0，1），曲线 （x）与直线y＝x﹣1相切于点B（1，0）， 所以|PM|的最小值为 ， 即|PQ|的最小值为|PM|﹣＝． 故答案为：． 39．【答案】7． 【分析】确定半径为3且经过点（6，8）的圆的圆心的轨迹是以（6，8）为圆心，以3为半径的圆，即可求得答案 【解答】解：设圆心坐标为（x，y），则，即（x﹣6）2+（y﹣8）2＝9， 即圆心轨迹是以（6，8）为圆心，以3为半径的圆， （6，8）到原点距离为， 故圆（x﹣6）2+（y﹣8）2＝9上的点到原点距离的最小值为10﹣3＝7， 即半径为3的圆经过点（6，8），则其圆心到原点的距离的最小值为7． 故答案为：7． 40．【答案】（﹣3，1）． 【分析】求出点D关于原点的对称点，当D′C⊥AB时，PC+PD取得最小值，结合CD′方程可求得交点C的坐标． 【解答】解：由题意知：A（﹣4，0），B（0，4），则D（0，2）， ∴点D关于坐标原点O的对称点为D′（0，﹣2）， 则当D′C⊥AB，且D′C交OA于点P时，PC+PD取得最小值； 易得直线CD′的方程为y＝﹣x﹣2， ∴由得：，∴C（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 四．解答题（共13小题） 41．【答案】证明过程见解析． 【分析】直接利用距离公式和圆与直线的位置关系的应用求出结果． 【解答】证明：不妨设：|P0P1|≤|P0P2|≤....≤|P0Pn|， 先证明，对于k＝1，2，....8均成立； 只有当k＝8时，上式右边取等号； 所以只需证明：当k≥9时，有即可； 以点Pi（i＝0，1，2，....k）为圆心，为半径画k+1个圆，其两两相切或相离， 以点P0为圆心，为半径画圆，此圆覆盖上述k+1个圆； 则， 整理得：， 由k≥9，易知， 所以，对k＝9，10，....，n也成立， 综上所述：， 故|P0P1||P0P2|⋯|P0Pn|＞． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由点A（2，8）在抛物线y2＝2px上，将A点坐标代入，易求出参数p的值，代入即得抛物线的方程和焦点F的坐标； （2）又由，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，由重心坐标公式，易得线段BC中点M的坐标； （3）设出过BC中点M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易构造关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，进而可以得到直线的方程． 【解答】解：（I）由点A（2，8）在抛物线y2＝2px上，有82＝2p•2解得p＝16 所以抛物线方程为y2＝32x，焦点F的坐标为（8，0） （II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得； 设点M的坐标为（x0，y0），则解得x0＝11，y0＝﹣4所以点M的坐标为（11，﹣4） （III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴． 设BC所成直线的方程为y+4＝k（x﹣11）（k≠0） 由消x得ky2﹣32y﹣32（11k+4）＝0 所以由（II）的结论得解得k＝﹣4 因此BC所在直线的方程为y+4＝﹣4（x﹣11）即4x+y﹣40＝0． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（法一）根据向量的运算法则计算出||＝||＝||，从而判断三角形的形状； （法二）设出坐标，根据坐标运算得到P1P2＝P1P3＝P2P3，判断三角形的形状； （2）根据向量乘积是0，得到向量垂直即可． 【解答】证明：（1）（法一）∵++＝， ∴+＝﹣， ∴＝， ∴+2•+＝， ∵||＝||＝||＝1，∴＝＝＝1， ∴•＝﹣， ＝|﹣|2＝﹣2•+＝3， ∴||＝，同理||＝||＝， ∴△P1P2P3是正三角形； （方法二）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）， ∵||＝||＝||＝1，∴， ∵++＝， ∴， ∴， ∴+＝+， ∴2x1 x2+2y1 y2＝﹣1， ∴p1p2＝＝， P1P3＝P2P3＝，∴P1P2＝P1P3＝P2P3， ∴△P1P2P3是正三角形； （2）OP1⊥P2P3， 证明：∵++＝，∴＝﹣﹣， ∴•＝（﹣） ＝（﹣﹣）（﹣） ＝﹣， ∵||＝||＝||＝1，＝， ∴•＝0，OP1⊥P2P3． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，可得|AP|+|PF|＝|AP|+|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号． 【解答】解：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l， 由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|， ∴|AP|+|PF|＝|AP|+|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号． ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1， ∴P（1，2）． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据直线的倾斜公式，设C（1，﹣1）得表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到的取值范围； （2）设M（0，0），N（1，0），则所求目标函数表示P与M、N两点间的距离之和．利用点关于直线对称的方法进行求解，即可得到当P点的坐标为（）时，目标函数的最小值为5． 【解答】解：（1）设C（1，﹣1），则，表示PC的斜率 观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得 当P与A重合时，kPC＝﹣达到最大值； 当P与B重合时，kPC＝﹣4达到最小值 ∴kPC∈[﹣4，﹣]，即 （2）直线AB的方程为lAB：x﹣y+3＝0， 设M（0，0），N（1，0），M'为点M关于直线AB对称的点， 求得M'（﹣3，3），则|PM|+|PN|＝ ∵|PM|+|PN|＝|PM′|+|PN|≥|M′N| ∴当P、M'、N三点共线时， |PM|+|PN|达到最小值|M′N|＝＝5 求得直线M′N方程为3x+4y﹣3＝0， 由此解出M′N、AB的交点坐标为P（） ∴的最小值等于5，此时P点的坐标为（）． 46．【答案】证明见解答 【分析】由已知，根据三个顶点的坐标，借助向量的数量积判断三外角是否为锐角可证明结论． 【解答】证明：由已知得＝（3，﹣1），＝（1，2），＝（﹣2，3）， ∵•＝3×1+（﹣1）×2）＝1＞0，∴A为锐角， ∵•＝﹣3×（﹣2）+1×3＝9＞0，∴B为锐角， ∵•＝（﹣1）×2+（﹣2）×（﹣3）＝4＞0，∴C为锐角， ∴△ABC是锐角三角形． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】利用两点间的距离公式得出|MA|的表达式，运用函数的思想，分类讨论求最值 【解答】解：∵y2＝4x，A（a，0），x≥0， ＝＝， 令f（x）＝[x﹣（a﹣2）]2+4a，x∈[0，+∞）， 若a﹣2≥0即a≥2 x＝a﹣2时f（x）min＝4a﹣4，|MA|min＝， 若a﹣2＜0即a＜2 x＝0时f（x）min＝a2，|MA|min＝|a|， 故当a≥2时|MA|min＝，当a＜2时|MA|min＝|a|． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）考察△ABC其中两边所在直线垂直即可，可以通过两边所在直线斜率乘积为﹣1来证明． （Ⅱ）由 （Ⅰ）可以证明AB⊥BC，因此，利用两点距离公式求出|AB|，|BC|后代入数据计算即可． （Ⅲ）A关于x轴的对称点为D（0，﹣1），连CD交x轴于P点，则P使|PC|﹣|PA|最大．利用C，D，P三点共线 求出P点的坐标即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵kAB＝﹣1，kBC＝1，∴kAB•kBC＝﹣1， ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形…3分 （Ⅱ）， ∴三角形ABC的面积为：（平方单位）… （Ⅲ）A关于x轴的对称点为D（0，﹣1），连CD交x轴于P点，则P使|PC|﹣|PA|最大． 设P（x，0），由C，D，P三点共线，则 故P点的坐标为P（3，0）…（10分） 49．【答案】见试题解答内容 【分析】先设出点P的坐标，设P（t，t），由两点间距离公式表示出|PA|2+|PB|2的关于参数t的表达式，再利用函数的相关知识求解出函数的最小值，即得出|PA|2+|PB|2取得最小值与坐标． 【解答】解：设P（t，t），则|PA|2+|PB|2＝（t﹣1）2+（t+1）2+（t﹣2）2+（t﹣2）2＝4t2﹣8t+10， 当t＝1时，|PA|2+|PB|2取得最小值，此时有P（1，1）， 所以|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标为（1，1）． 50．【答案】（1）； （2）（﹣∞，1]∪[2，+∞）； （3）（﹣∞，1）∪（5，+∞）． 【分析】（1）利用曼哈顿距离的定义，建立关于x的不等式，解之即可得到本题的答案； （2）先算出D（A，B）＝|x﹣1|+|2x﹣4|，然后根据x的范围加以讨论，得出|x﹣1|+|2x﹣4|＝|3x﹣5|恒成立的x的取值范围，可得答案； （3）利用绝对值不等式的性质，算出D（A，B）＝|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|3﹣a|，再根据不等式恒成立，列式算出a的取值范围． 【解答】解：（1）因为A（2x，1），B（3，2），故D（A，B）＝|2x﹣3|+|1﹣2|＝|2x﹣3|+1， 由D（A，B）≤3，可得|2x﹣3|+1≤3，即|2x﹣3|≤2， 则﹣2≤2x﹣3≤2，解得 ，故x的取值范围是； （2）因为A（x，2x），B（1，4），故D（A，B）＝|x﹣1|+|2x﹣4|． 当x≤1时，|x﹣1|+|2x﹣4|＝﹣x+1﹣2x+4＝﹣3x+5，|3x﹣5|＝﹣3x+5，此时|x﹣1|+|2x﹣4|＝|3x﹣5|成立； 当1＜x＜2时，|x﹣1|+|2x﹣4|＝x﹣1﹣2x+4＝﹣x+3，|3x﹣5|＝，此时|x﹣1|+|2x﹣4|与|3x﹣5|不相等； 当x≥2时，|x﹣1|+|2x﹣4|＝x﹣1+2x﹣4＝3x﹣5，|3x﹣5|＝3x﹣5，此时|x﹣1|+|2x﹣4|＝|3x﹣5|成立． 综上所述，若D（A，B）＝|3x﹣5|，则x≤1或x≥2，即x的取值范围是（﹣∞，1]∪[2，+∞）； （3）若A（x，x），B（3，a），则D（A，B）＝|x﹣3|+|x﹣a|， 当a＝3时，D（A，B）＝|x﹣3|+|x﹣a|＝2|x﹣3|，最小值为0，不能恒大于2； 当a≠3时，D（A，B）＝|x﹣3|+|x﹣a|≥|（x﹣3）﹣（x﹣a）|＝|a﹣3|， 当且仅当（x﹣3）（x﹣a）≤0时等号成立，即D（A，B）的最小值为|a﹣3|． 如果A、B的曼哈顿距离要恒大于2，则|a﹣3|＞2，解得a＜1或a＞5， 即实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（5，+∞）． 51．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点为A′（﹣2，8），P为直线l上一点，则|PA|+|PB|＝|PA′|+|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|+|PB|＝|PA′|+|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|+|PB|取得最小值|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，由此能求出结果． （2），B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|﹣|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|﹣|PA||取得最大值|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设点A关于直线l的对称点为A′（m，n）， 则，解得m＝﹣2，n＝8， ∴A′（﹣2，8）， P为直线l上一点，则|PA|+|PB|＝|PA′|+|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立， 此时|PA|+|PB|＝|PA′|+|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立， 此时|PA|+|PB|取得最小值|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点， 解得，解得x＝﹣2，y＝3， ∴P（﹣2，3）． （2）A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|﹣|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时等号成立， 此时||PB|﹣|PA||取得最大值|AB|， 点P即是直线AB与直线l的交点， 又直线AB的方程为y＝x﹣2， ∴由，得x＝12，y＝10， ∴P（12，10）． 52．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用直线与圆相切的充要条件即可得出． （2）利用两点间的距离公式和二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）由（x+4）2+（y﹣2）2＝9可得圆心（﹣4，2），半径r＝3． 可知：当直线x＝﹣1时与此圆相切，是圆的一条切线． 当经过点P（﹣1，5）的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣5＝k（x+1）， 由直线与圆相切可得，解得k＝0． ∴切线的方程为y＝5． 综上可知：经过点P（﹣1，5）的切线方程为y＝5，或x＝﹣1． （2）设点P（x，y）．则﹣4≤x≤4． 由，得， ∴|PA|＝＝＝＝． ∵﹣4≤x≤4，∴函数单调递减．． 故当且仅当x＝4时，|PA|取得最小值3；x＝﹣4时，|PA|取得最大值5． 53．【答案】见试题解答内容 【分析】首先要建立以A或B为中心的购买区域，因为每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，因此，顾客所在地到A地距离是到B地距离的，以此为等量关系，所以满足此条件的范围应为某区域，由此可得结论． 【解答】解：以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系， 则A（﹣5，0）、B（5，0）． 设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/km，B地的运费为a元/km． 价格+xA地运费≤价格+xB地运费，所以3a≤a 因为a＞0，所以3≤ 两边平方，得9（x+5）2+9y2≤（x﹣5）2+y2，即（x+）2+y2≤（）2． 所以，以点C（﹣，0）为圆心、为半径的圆是这两地购货的分界线． ∴A地的购物影响区域的面积为π•＝平方公里． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:31:04；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$