第二章 曲线与方程-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】 曲线与方程 一．选择题（共24小题） 1．曲线2y2+3x+3＝0与曲线x2+y2﹣4x﹣5＝0的公共点的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0成立，则实数m的取值范围为（　　） A．[0，e2﹣e+1] B．[0，e2+e﹣1] C．[0，e2+e+1] D．[0，e2﹣e﹣1] 3．鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 4．方程y+2＝0所表示的曲线是（　　） A．一个圆 B．半个圆 C．半个椭圆 D．一个椭圆 5．方程+|y|＝2的图形大致形状为（　　） A． B． C． D． 6．方程x2+y2﹣2x+4y+5＝0所表示的曲线是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．一个点 7．若方程x2+＝1（a是常数），则下列结论正确的是（　　） A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆 C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线 8．方程x4+y4＝4（x2+y2）所表示曲线的大致形状为（　　） A． B． C． D． 9．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（　　） A． B．1 C．2 D．不确定 10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C围成的图形的面积是2+π； ②曲线C上的任意两点间的距离不超过2； ③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是． 其中正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（　　）的方程上． A．（x≤﹣510） B．（x≥510） C．y＝0（x≤﹣700或x≥700） D． 12．椭圆曲线y2+ay＝x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象，关于椭圆曲线C：y2﹣2y＝x3+mx﹣3，下列结论正确的是（　　） A．曲线C过点（0，0） B．曲线C关于点（0，﹣3）对称 C．曲线C关于直线y＝2对称 D．若曲线C上存在位于y轴左侧的点，则m≤﹣3 13．若实数x，y满足x|x|﹣y|y|＝2，则点（x，y）到直线y＝x+1的距离的取值范围是（　　） A．（，3] B．[，] C．（，] D．[，3] 14．曲线∁k：xk+yk＝4（k＞0，k∈Q），下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k＝2n，n∈N，曲线与坐标轴围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（　　） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 15．方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是（　　） A．两条直线 B．双曲线 C．一个点 D．一条直线和一条射线 16．方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0所表示的曲线是（　　） A．两条相交的直线 B．两条相交直线和两条平行直线 C．两条平行直线和一个圆 D．两条相交直线和一个圆 17．在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　） ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 18．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．2 19．已知某曲线方程为，则下列描述中不正确的是（　　） A．若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则 B．若该曲线为圆，则m＝4 C．若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上 D．若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈（﹣∞，﹣3） 20．已知m∈R，则方程（2﹣m）x2+（m+1）y2＝1所表示的曲线为C，则以下命题中正确的是（　　） A．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 B．当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是（2，+∞） C．当m＝2时，曲线C表示一条直线 D．存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线 21．已知点P（x，y）在曲线上，那么的取值范围是（　　） A． B．[0，1] C． D． 22．已知曲线C：x|x|+4y2＝4，点，下面有四个结论： ①曲线C关于x轴对称； ②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C上任意点P满足； ④曲线C与曲线（x﹣2y﹣2）（x+2y﹣2）＝0有5个不同的交点． 则其中所有正确结论的序号是（　　） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 23．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（　　） A．x+y＝5 B． C．x2+y2＝16 D．x2＝16y 24．在平面直角坐标xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0），且|OP|＝r（r＞0），定义，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y＝sosθ”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为； ②该函数的图像关于原点对称； ①该函数的图像关于直线对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．多选题（共4小题） （多选）25．已知α∈[0，π]，则方程x2+y2cosα＝1表示的曲线的形状可以是（　　） A．两条直线 B．圆 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 （多选）26．已知直线y＝a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（　　） A． B．x2＝lnx1 C． D．x1，x2，x3构成等比数列 （多选）27．曲线C的方程为Ax2+By2＝1，则下列命题正确的是（　　） A．若曲线C为双曲线，则AB＜0 B．若曲线C为椭圆，则A＞0，B＞0且A≠B C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则B＞A＞0 （多选）28．已知曲线C：x|x|﹣4y|y|＝4，P（x0，y0）为C上一点，则（　　） A．曲线C在第一象限的图象为双曲线的一部分 B．点P（x0，y0）不可能落在第三象限 C．直线x﹣2y﹣2＝0与曲线C有两个交点 D．若直线l：y＝kx﹣1与曲线C有三个交点，则 三．填空题（共8小题） 29．曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的图形的面积是 　 　． 30．已知点P（x0，y0）关于x轴的对称点在曲线C：y＝2上，且过点P的直线y＝x﹣2与曲线C相交于点Q，则|PQ|＝　 　． 31．若实数x，y满足x2+2cosy＝1，则x﹣cosy的取值范围是 　 　． 32．以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为椭圆； ②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆； ③方程ln2x﹣lnx﹣2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线与椭圆有相同的焦点． 其中真命题的序号为　 　（写出所有真命题的序号） 33．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．给出下列四个结论： ①函数y＝cosh（x）是偶函数，且最小值为2； ②函数y＝sinh（x）是奇函数，且在R上单调递增； ③函数y＝tanh（x）在R上单调递增，且值域为（﹣1，1）； ④若直线y＝t与函数y＝cosh（x）和y＝sinh（x）的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 34．关于曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称，也关于x轴、y轴对称； ②曲线C围成的面积是π+2； ③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ④曲线C上的点到原点的距离的最小值为1． 其中，所有正确结论的序号是 　 　． 35．已知曲线方程x|x|+y|y|＝1，若过A（1，0）的直线l与该曲线恰有三个不同的交点，则直线l的倾斜角的取值范围是 　 　． 36．已知实数x，y满足方程组，则x2+y2＝　 　． 四．解答题（共15小题） 37．抛物线的方程是y2＝2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2＝2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）． 38．在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形． 方程 x2+y2＝2x x2﹣y2＝0 图形名称 图形 39．求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1＝0的离心率． 40．已知方程kx2+y2＝4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图． 41．抛物线y2＝12x与2x2＝3y的公共弦的长度是多少？ 42．设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1． （1）写出曲线C1的方程； （2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称； （3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝﹣t且t≠0． 43．已知点A（0，1），点B在y轴负半轴上，以AB为边做菱形ABCD，且菱形ABCD对角线的交点在x轴上，设点D的轨迹为曲线E． （Ⅰ）求曲线E的方程； （Ⅱ）过点M（m，0），其中1＜m＜4，作曲线E的切线，设切点为N，求△AMN面积的取值范围． 44．已知点M，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线MP，NP相交于点P，且它们的斜率之积是，点P的轨迹记为D．△ABC的顶点A，B在D上，C在直线l：y＝x+2上，且AB∥l． （1）求曲线D的方程； （2）若AB边通过坐标原点O，求AB的长及△ABC的面积； （3）若线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，求△ABC的外接圆面积最大时线段AB所在直线的方程． 45．已知点A（1，0），B（4，0），曲线C上任意一点P满足|PB|＝2|PA|． （1）求曲线C的方程； （2）设点D（3，0），问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 46．讨论当α从0°到180°变化时，曲线x2+y2cosα＝1怎样变化？ 47．已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，，求椭圆C1的方程． 48．在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）． （1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程； （2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标； （3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值． 49．如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBn∁nDn（n＝1，2，…），其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{an}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B1的坐标为（d，0）． （1）当a＝8，d＝4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上； （2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2＝2x上； （3）为使所有顶点An均落在抛物线y2＝2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式． 50．（理科）已知圆C：x2+y2＝1和点Q（2，0），动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 51．已知曲线，直线l：kx﹣y﹣k＝0，O为坐标原点． （1）讨论曲线C所表示的轨迹形状； （2）当k＝1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，若，求曲线C的方程； （3）当a＝﹣1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 精选易错题练习—【第二章】 曲线与方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共24小题） 1．【答案】D 【分析】将两个曲线方程联解，消去y得2x2﹣11x﹣13＝0，解之得x＝﹣1或x＝．再将x的回代到方程中，解之可得只有x＝﹣1、y＝0符合题意．由此即可得到两个曲线有唯一的公共点，得到答案． 【解答】解：由消去y2，得2x2﹣11x﹣13＝0 解之得x＝﹣1或x＝ 当x＝﹣1，代入第一个方程，得y＝0； 当x＝时，代入第一个方程得2y2++3＝0，没有实数解 因此，两个曲线有唯一的公共点（﹣1，0） 故选：D． 2．【答案】D 【分析】求出y0的范围，证明f（y0）＝y0，得出f（x）＝x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围． 【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e， 显然f（x）＝是增函数， （1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））＝y0矛盾； （2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））＝y0矛盾； ∴f（y0）＝y0， ∴y0为方程f（x）＝x的解，即方程f（x）＝x在[1，e]上有解， 由f（x）＝x得m＝x2﹣x﹣lnx， 令g（x）＝x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]， 则g′（x）＝2x﹣1﹣＝＝， ∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0， ∴g（x）在[1，e]上单调递增， ∴gmin（x）＝g（1）＝0，gmax（x）＝g（e）＝e2﹣e﹣1， ∴0≤m≤e2﹣e﹣1． 故选：D． 3．【答案】A 【分析】根据图形的对称性与定义域特点选择合适的函数． 【解答】解：因为图形为轴对称图形， 所以x与﹣x对应的y值相等，故函数为偶函数，只有A、C选项中函数均为偶函数，故排除B、D； 根据图象可知为封闭图形，x的定义域有限，C中及定义域均为R，不符合题意． 故选：A． 4．【答案】C 【分析】由题意可得y＝﹣2∈[﹣2，0]，两边平方，整理可得所求轨迹图形． 【解答】解：方程y+2＝0， 可得3﹣x2≥0，即﹣≤x≤， y＝﹣2∈[﹣2，0]， 平方可得y2＝12﹣4x2， 即+＝1（y∈[﹣2，0]）， 可得方程表示半个椭圆， 故选：C． 5．【答案】A 【分析】讨论x≥0，y≥0时图象情况，再根据图形对称性即可判断 【解答】解：当x≥0，y≥0时，， 将抛物线弧（凹的）y2＝x（x≥0，﹣2≤y≤0）上移2个单位得到（y﹣2）2＝x（x≥0，0≤y≤2）的图象， 因的图形关于两条坐标轴对称，排除B，C，D， 故选：A． 6．【答案】D 【分析】由配方可得（x﹣1）2+（y+2）2＝0，由完全平方数非负，可得所求曲线． 【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y+5＝0， 即为（x﹣1）2+（y+2）2＝0， 可得x﹣1＝0且y+2＝0， 即点（1，﹣2）， 故选：D． 7．【答案】B 【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项． 【解答】解：对于a＝1，方程x2+＝1表示圆，选项A错误； 当a＞0且a≠1时，方程x2+＝1表示椭圆，B正确； 当a＜0时，方程x2+＝1表示双曲线，C错误； 对于任意实数a，方程x2+＝1不是抛物线，D错误． 故选：B． 8．【答案】A 【分析】根据方程x4+y4＝4（x2+y2），可得所表示曲线关于坐标轴即原点对称，且点（2，2）在其上，即可判断． 【解答】解：根据方程x4+y4＝4（x2+y2），可得所表示曲线关于坐标轴即原点对称，且点（2，2）在其上， 故选：A． 9．【答案】C 【分析】设椭圆和双曲线的方程为：和．由题设条件可知 ，，结合，由此可以求出的值． 【解答】解：设椭圆和双曲线的方程为： 和． ∵，， ∴，， ∵满足， ∴△PF1F2是直角三角形， ∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2． 即m+a＝2c2 则＝＝＝2 故选：C． 10．【答案】C 【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假． 【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称， 当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆， 由此可作出曲线C的图象，如图所示， 所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误； 设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝， 故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣， 故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确． 故选：C． 11．【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可． 【解答】解：设炮弹爆炸点为P， 由题意可知：||PA|﹣|PB||＝3×340＝1020＜1400， 显然点P的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有2a＝1020，2c＝1400， 可得：a＝510，c＝700，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合． 故选：D． 12．【答案】D 【分析】代入验证判断A；设一组对称点代入检验判断B、C；选项D结合函数值域分析即可求解． 【解答】解：把（0，0）代入y2﹣2y＝x3+mx﹣3，可得0＝﹣3，故A错； 设曲线上任一点P（x0，y0），则①， 而点P（x0，y0）关于点（0，﹣3）对称点P′（﹣x0，﹣6﹣y0）， 如果曲线关于（0，﹣3），则P′（﹣x0，﹣6﹣y0）也应在曲线上， 则②， 联立①②得，，方程无解， 所以P和P′这样的对称点不存在，即（0，﹣3）不是该椭圆曲线的对称点，故B错； 设曲线上任一点P（x0，y0），则③， 而点P（x0，y0）关于y＝2对称的点为P′（x0，4﹣y0）， 如果曲线关于y＝2对称，则P′（x0，4﹣y0）也应在曲线上， 则④， 联立③④得，，解得y0＝2， 此时P和P′重合，即曲线不是椭圆而是直线y＝2，不符合题意，故C错； 由原方程得：（y﹣1）2＝x3+mx﹣2， 若曲线C上存在位于y轴左侧的点，即当x＜0时，有点（x，y）在曲线上， 设f（x）＝x3+mx﹣2，则f′（x）＝3x2+m， 当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，且f（0）＝﹣2， 所以此时f（x）≤﹣2，此时没有y能使（y﹣1）2＝x3+mx﹣2成立， 当m＜0时，令f′（x）＝3x2+m＝0，所以， 当时，f′（x）＞0，f（x）在单调递增， 当时，f′（x）＜0，f（x）在单调递减， 所以只需极大值非负，即可使曲线上存在位于y轴左侧的点， 即， 所以， 所以， 所以，得m3≤﹣27，即m≤﹣3，故D正确． 故选：D． 13．【答案】C 【分析】根据实数x，y满足x|x|﹣y|y|＝2，画出图象，由图象可得曲线上点（x，y）到直线y＝x+1的距离的取值范围． 【解答】解：∵实数x，y满足x|x|﹣y|y|＝2， ∴当x≥0且y≥0时，方程化为x2﹣y2＝2，此时曲线的渐近线方程为y＝x； 当x＞0且y＜0时，方程化为x2+y2＝2，此时曲线为圆（半径为，圆心为（0，0））； 当x＜0且y＞0时，无意义； 当x＜0且y＜0时，方程化为y2﹣x2＝2，此时曲线的渐近线方程为y＝x， 则曲线x|x|﹣y|y|＝2的图象如下所示： 由图象，可知x﹣y+1＝0与渐近线x﹣y＝0的距离， 圆心（0，0）到x﹣y+1＝0的距离， 所以点（x，y）到直线y＝x+1的距离的取值范围为． 故选：C． 14．【答案】A 【分析】对于甲，直接算出面积即可，对于乙，由于其关于x、y轴对称，与轴的交点坐标总大于1，且关于直线y＝x对称，只需看直线y＝x上点（1，1）是否在闭合曲线内部，在内则闭合曲线面积大于4． 【解答】解：对于甲，S＝ydx＝（4﹣）2dx＝16x﹣+x2＝＜128，甲为真， 对于乙，此时曲线闭合，关于x、y轴对称，与轴的交点坐标总大于1，且关于直线y＝x对称，对于曲线，当x＝1，y＞1，所以直线y＝x上点（1，1）在闭合曲线内， 设闭合曲线面积为S，则S＞xdx＝，所以S＞4，乙为真， 故选：A． 15．【答案】A 【分析】由已知的方程得到2x+3y＝0或2x﹣3y＝0，从而得到方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形． 【解答】解：由（2x+3y）（2x﹣3y）＝0，得2x+3y＝0或2x﹣3y＝0， 故方程（2x+3y）（2x﹣3y）＝0表示的图形是两条直线， 故选：A． 16．【答案】D 【分析】将原方程分解因式，结合直线方程和圆方程，可得所求曲线形状． 【解答】解：方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0， 即（x2﹣y2）（x2+y2）﹣4（x2﹣y2）＝0， 可得（x2﹣y2）（x2+y2﹣4）＝0， 即为y2＝x2或x2+y2＝4， 即y＝x或y＝﹣x或x2+y2＝4， 则方程表示两条相交直线和一个圆， 故选：D． 17．【答案】B 【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A，当任意x∈A，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断． 【解答】解：对于①，不妨设椭圆方程为，M（m，0）， 则椭圆上一点P到M距离为， 当m＞a时，对称轴，可得|PM|∈[m﹣a，m+a]， 总存在m使得（m﹣a）（m+a）＝1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值， 而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无穷大，|PM|∈[m，+∞）， 故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误． 故选：B． 18．【答案】A 【分析】由双曲线与椭圆的性质可得a+1+1＝4﹣a2，且a+1＞0，4＞a2，从而可解得a的值． 【解答】解：因为双曲线与椭圆的焦点相同， 则a+1+1＝4﹣a2，且a+1＞0，4＞a2， 解得a＝﹣2（舍）或a＝1， 故选：A． 19．【答案】B 【分析】由已知方程结合椭圆、双曲线的标准方程与性质逐一求解得答案． 【解答】解：对于A，曲线方程为，若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上， 则，解得m＞，即m∈（，+∞），故A正确； 对于B，若该曲线为圆，则m+3＝1﹣2m＞0，即m＝﹣，故B错误； 对于C，若该曲线为椭圆，则当m+3＞1﹣2m＞0，即＜m＜时，其焦点在x轴上， 当1﹣2m＞m+3＞0，即﹣3＜m＜时，其焦点在y轴上，故C正确； 对于D，若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上， 则，解得m＜﹣3，即m∈（﹣∞，﹣3），故D正确． 故选：B． 20．【答案】A 【分析】根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断ABD选项即可；由m＝2时，曲线C的方程可知C错误． 【解答】解：对于A，当时，，， ∴， ∴表示焦点在x轴上的椭圆，即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，A正确； 对于B，若曲线C表示双曲线，则（2﹣m）（m+1）＜0，解得：m＜﹣1或m＞2， 即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），B错误； 对于C，当m＝2时，曲线C：3y2＝1，即， 即曲线C表示两条直线，C错误； 对于D，若曲线C为等轴双曲线，则，解集为∅， ∴不存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线，D错误． 故选：A． 21．【答案】D 【分析】x+y+1＝0与相切于点B（﹣2，1），由几何意义得到最小值为0，当P不与B重合时，作出辅助线，由几何意义得到，求出最大值，从而得到取值范围． 【解答】解：可看作P（x，y）到直线x+y+1＝0的距离，可看作P（x，y）到点A（0，﹣1）的距离， 如图所示， 联立x+y+1＝0与得，x2+4x+4＝0， 则Δ＝42﹣4×4＝0，此时（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，故y＝1， 故x+y+1＝0与相切于点B（﹣2，1），此时取得最小值，最小值为0， 当P不与B重合时，过点P作PH⊥x+y+1＝0于点H， 则＝×＝×＝cos∠HPA， 数形结合可知，当P运动至（2，1）时，∠HPA＝0， 此时取得最大值，最大值为， 故的取值范围是． 故选：D． 22．【答案】D 【分析】先分类讨论化简曲线C的方程，再根据椭圆与双曲线的几何性质，数形结合即可分别求解． 【解答】解：当x≥0时，曲线C方程可化为：，（x≥0），表示部分椭圆； 当x＜0时，曲线C方程可化为：，（x＜0），表示部分双曲线． 作出曲线C的图形，如图所示， 对①，由图可知：曲线C关于x轴对称，∴①正确； 对②，由图可知：曲线C与y轴围成的封闭图形的面积显然小于2×2＝4，∴②正确； 对③，∵F为椭圆的焦点，且椭圆中a＝2，b＝1，c＝， ∴由椭圆的几何性质及双曲线的几何性质可得：|PF|≥a﹣c＝2﹣，∴③正确； 对④，如图，由题意可得直线x﹣2y﹣2＝0与直线x+2y﹣2＝0与双曲线分别切于（0，﹣1），（0，1）， 且两直线都过（2，0），∴曲线C与曲线（x﹣2y﹣2）（x+2y﹣2）＝0有3个不同的交点，∴④错误． 故选：D． 23．【答案】B 【分析】根据题意可知M的轨迹为：﹣＝1（x≥4），再研究各选项与M的轨迹的交点情况，即可得到结论． 【解答】解：因为M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8， 所以M的轨迹是以A（﹣5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支， 方程为﹣＝1（x≥4）． 对于A：因为直线x+y＝5过点（5，0）与（0，5）， 所以直线与双曲线﹣＝1（x≥4）有交点， 所以直线x+y＝5是“好曲线”； 对于B：∵的右顶点为（3，0），双曲线的右顶点为（4，0）， 所以与﹣＝1（x≥4）没有交点，所以椭圆不是“好曲线”； 对于C：x2+y2＝16的圆心为（0，0），半径为4，故圆过双曲线的右顶点为（4，0）， 所以x2+y2＝16与﹣＝1（x≥4）有交点，所以圆x2+y2＝16是“好曲线”； 对于D：联立，可得y2﹣9y+9＝0，解得x2＝72±24，y＝，满足题意． 所以不是“好曲线”的是B． 故选：B． 24．【答案】B 【分析】结合已知新定义求出sosx的表达式，然后结合正弦函数的性质进行检验即可判断． 【解答】解：在A中，由三角函数的定义可知x0＝rcosx，y0＝rsinx， 所以＝，正确； 在B中，，所以f（0）＝，所以函数关于原点不对称，错误； 在C中，当时，＝， 所以图像关于直线不对称，错误； 在D中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，正确． 故选：B． 二．多选题（共4小题） 25．【答案】ABD 【分析】分类讨论α＝0，，与四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断． 【解答】解：对于方程x2+y2cosα＝1（0≤α≤π）， 当α＝0时，cosα＝1，方程为x2+y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆； 当时，0＜cosα＜1，则， 此时方程x2+y2cosα＝1，即表示焦点在y轴的椭圆； 当时，cosα＝0，此时方程x2＝1，即x＝±1，表示两条直线； 当时，﹣1≤cosα＜0，则， 此时方程x2+y2cosα＝1，即表示焦点在x轴的双曲线． 综上可得符合依题意的有ABD． 故选：ABD． 26．【答案】ACD 【分析】利用导数分别求出函数，的单调性和最值，作出两个函数的图象，利用图象结合对数的运算性质逐个判断各个选项即可． 【解答】解：，则y'＝， 令y'＝0得x＝1， ∴当x∈（﹣∞，1）时，y'＞0，单调递增；当x∈（1，+∞）时，y'＜0，单调递减， ∴的最大值为， 同理，，y'＝， 令y'＝0得x＝e， ∴当x∈（0，e）时，y'＞0，单调递增；当x∈（e，+∞）时，y'＜0，单调递减， ∴的最大值为， 作出两个函数的图象，如图所示， 由＝a得x2＝a，故选项A正确， ∵＝＝a＝＝，且在（0，1）上单调递增， 又∵0＜x1＜1，1＜x2＜e，∴0＜lnx2＜1， ∴x1＝lnx2，故选项B错误， ∵＝＝a＝，且在（e，+∞）上单调递减，∈（e，ee），x3＞e， ∴＝x3，故选项C正确， ∴x1x3＝lnx2＝•ax2＝，∴x1，x2，x3构成等比数列，故选项D正确， 故选：ACD． 27．【答案】ABD 【分析】由已知曲线方程结合圆锥曲线的定义逐一分析得答案． 【解答】解：曲线C的方程为Ax2+By2＝1， 若曲线C为双曲线，则A，B异号，即AB＜0，故A正确； 若曲线C为椭圆，则A＞0，B＞0且A≠B，故B正确； 当A＝B＞0时，曲线方程为，表示圆，故C错误； 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，方程化为，则＞＞0，可得B＞A＞0，故D正确． 故选：ABD． 28．【答案】AC 【分析】讨论x，y符号研究不同象限对应曲线C，结合椭圆、双曲线性质，数形结合判断各项的正误即可． 【解答】解：当x＞0，y＞0，则曲线，双曲线的一部分； 当x＝0，则曲线C：﹣4y|y|＝4⇒y＝﹣1； 当x＜0，y＞0，则曲线C：﹣x2﹣4y2＝4不存在； 当y＝0，则曲线C：x|x|＝4⇒x＝2； 当x＜0，y＜0，则曲线，双曲线的一部分； 当x＞0，y＜0，则曲线，椭圆的一部分； 又x﹣2y﹣2＝0过点（2，0），（0，﹣1），且曲线C在第一、三象限对应双曲线的一条渐近线为x﹣2y＝0， 所以曲线C如下图示， 所以A、C对，B错； 由y＝kx﹣1恒过（0，﹣1），结合C项分析，如下图示， 显然时y＝kx﹣1与曲线C也有三个交点，D错． 故选：AC． 三．填空题（共8小题） 29．【答案】2+π． 【分析】由于曲线x2+y2＝2|x|+4|y|围成的图形关于x轴，y轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可． 【解答】解：∵将﹣x或﹣y代入曲线方程中，曲线方程不变， ∴曲线x2+y2＝|x|+|y|关于x轴，y轴对称， ∴只需求出第一象限的面积即可， ∵当x≥0，y≥0时，曲线方程可化为， 其表示的图形占整个图形的， 又表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆， ∴， ∴围成的图形的面积为：2+π． 故答案为：2+π． 30．【答案】16． 【分析】根据抛物线的对称性知点P在抛物线y2＝8x（y∈R）上，因为直线y＝x﹣2过此抛物线的焦点F（2，0），根据焦点弦问题解决即可． 【解答】解：因为曲线C的方程为y＝2，即y2＝8x（y≥0）， 所以由题意及抛物线的对称性，知点P在抛物线y2＝8x（y∈R）上，且在x轴的下方， 因为直线y＝x﹣2过此抛物线的焦点F（2，0）． 设Q（x1，y1），联立，得x2﹣12x+4＝0，则x0+x1＝12， 所以由抛物线的焦点弦长公式得|PQ|＝x0+x1+p＝16， 故答案为：16． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】由条件可得cosy＝，由余弦函数的值域求得x的范围，化x﹣cosy为x的二次函数，结合二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求范围． 【解答】解：实数x，y满足x2+2cosy＝1， 可得cosy＝， 由﹣1≤cosy≤1，解得﹣≤x≤， 则x﹣cosy＝x﹣＝（x+1）2﹣1， 设f（x）＝（x+1）2﹣1，﹣≤x≤， 可得f（﹣1）＝﹣1为最小值； f（）＝1+为最大值， 可得x﹣cosy的取值范围是[﹣1，1+]． 故答案为：[﹣1，1+]． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由椭圆的定义分析可得①错误；对于②、分析可得P是AB中点，结合垂径定理分析可得②正确；对于③、求出方程ln2x﹣lnx﹣2＝0的两根，分析可得两根的大小可得③正确；对于④、分析椭圆、双曲线的焦点位置即可得④不正确，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个命题： 对于①、若动点P的轨迹为椭圆则需满足k＞|AB|，故①错误； 对于②、若，则P是AB中点，即∠CPA＝90°，所以P的轨迹是以CA为直径的圆，故②正确； 对于③、方程ln2x﹣lnx﹣2＝0的两根分别为x＝e2或，而，故③正确； 对于④、双曲线焦点在y轴上，椭圆的焦点在x轴上；故④不正确 故答案为：②③． 33．【答案】②③④． 【分析】对于①，利用偶函数的定义判断即可，利用基本不等式求函数的最小值，即可判断； 对于②，利用奇函数的定义判断即可，利用复合函数单调性判断即可； 对于③，对函数式化简为1﹣，利用复合函数判断单调性，根据指数函数的值域和不等式的性质求出值域，即可判断； 对于④，根据函数的单调性和奇偶性可得出t＞1，x1+x2＝0，可得＞1，解此不等式即可判断． 【解答】解：对于①，y＝的定义域为R， cosh（﹣x）＝＝cosh（x），故函数y＝cosh（x）是偶函数； y＝＝1，当且仅当x＝0时取等号， 即函数y＝cosh（x）的最小值为1，故①错误； 对于②，y＝的定义域为R， sinh（﹣x）＝＝﹣sinh（x），所以函数y＝sinh（x）是奇函数， 由复合函数的单调性可知函数y＝﹣e﹣x是增函数， 所以函数y＝sinh（x）在R上单调递增，故②正确； 对于③，y＝＝＝＝＝1﹣， 由复合函数的单调性可知该函数在R上单调递增； 因为e2x＞0，所以e2x+1＞1，所以﹣1＜1﹣＜1，故函数的值域为（﹣1，1），故③正确； 对于④，因为直线y＝t与函数y＝cosh（x）和y＝sinh（x）的图象共有三个交点， y＝sinh（x）在R上单调递增，且值域为R， 所以直线y＝t与函数y＝cosh（x）有两个交点，函数y＝cosh（x）是偶函数，则t＞1， 所以x1+x2＝0，由＞1，解得ex＞1，得x3＞ln（1）， 所以，故④正确． 故答案为：②③④． 34．【答案】①②③④． 【分析】由已知结合曲线的对称性检验①，结合圆的性质检验②③④即可判断． 【解答】解：设P（x，y）为曲线上的任意一点，以﹣x代x，以﹣y代y，方程不变，曲线x2+y2＝|x|+|y|，关于x轴，y轴及原点对称，①正确； 当x≥0，y≥0时，方程可化为：x2+y2﹣x﹣y＝0， 即（x﹣）2+（y﹣）2＝，其轨迹是以（）为圆心，以为半径的圆，曲线围成的面积为＝2+π，②正确． 由题意可得，曲线上任意两点之间的距离的最大值为4×＝2， 根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点距离的最大值为，③正确； 根据图象可知，曲线C上的点到原点的距离的最小值为1，④正确． 故答案为：①②③④． 35．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，﹣）． 【分析】画出曲线x|x|+y|y|＝1，求出过（1，0）且与﹣x2+y2＝1相切的直线的斜率，数形结合得答案． 【解答】解：当x≥0，y≥0时，方程x|x|+y|y|＝1化为x2+y2＝1，其图象是个单位圆； 当x＞0，y＜0时，方程x|x|+y|y|＝1化为x2﹣y2＝1，其图象是焦点在x轴上的双曲线的右下支； 当x＜0，y＞0时，方程x|x|+y|y|＝1化为﹣x2+y2＝1，其图象是焦点在y轴上的双曲线的左上支； 当x＜0，y＜0时，方程x|x|+y|y|＝1化为﹣x2﹣y2＝1，即x2+y2＝﹣1，不可能成立． 作出函数y＝f（x）的大致图象如图， 设过（1，0）斜率为k的直线方程为y＝k（x﹣1）， 联立，得（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0． 当k≠±1时，由Δ＝4k4﹣4（k2﹣1）2＝0，解得k＝（舍去）或k＝﹣． 由图可知，当k∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，﹣）时，直线l与该曲线恰有三个不同的交点． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，﹣）． 36．【答案】13． 【分析】根据立方和公式、完全平方和公式即可求解． 【解答】解：∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x+y）2﹣3xy]＝19， 把x+y＝1代入，可得xy＝﹣6， ∴1×（x2+y2+6）＝19 ∴x2+y2＝13． 故答案为：13． 四．解答题（共15小题） 37．【答案】见试题解答内容 【分析】设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式，把P点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k，则圆的方程可得． 【解答】解：设圆的方程为（x﹣k）2+y2＝1 再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0） 在P点圆半径的斜率＝． 在P点抛物线的切线斜率＝ 在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切， ∴．（1） 因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点， ∴y02＝2x0．（2） （x0﹣k）2+y02＝1．（3） 由（1）、（2）式消去y0，得x0＝﹣k， 将（2）代入（3），得（x0﹣k）2+2x0﹣1＝0， 将x0＝﹣k代入，得4k2﹣2k﹣1＝0， ∴． 由于抛物线在y轴的右方，所以k＝﹣x0≤0 故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为． 故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直 38．【答案】见试题解答内容 【分析】将方程变形，分析方程所代表曲线的类型． 【解答】解：x2+y2＝2x，即：（x﹣1）2+…+y2＝1， 表示圆心在（1，0），半径等于1的圆， x2﹣y2＝0，即：（x+y）•（x﹣y）＝0， 即：x+y＝0或x﹣y＝0，表示2条直线． 方程 x2+y2＝2x x2﹣y2＝0 图形名称 圆 两条相交直线 图形 39．【答案】见试题解答内容 【分析】先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得． 【解答】解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣＝1， 即a＝1，b＝ ∴c＝＝2 ∴e＝＝2 40．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）k＝1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上 （2）k＝0时，方程为y2＝4，图形是两条平行于x轴的直线y＝±2 （3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上， 【解答】解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆或圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴＝2，半短轴＝；②k＝1时，为半径r＝2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴＝，半短轴＝2 （2）k＝0时，方程为y2＝4，图形是两条平行于x轴的直线y＝±2如图： （3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图： 41．【答案】见试题解答内容 【分析】通过将两条抛物线的方程联立，解方程组求出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长． 【解答】解：由 解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6） 故其公共弦长为：＝． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后，x变为x﹣t，y变为y﹣s， （2）在曲线C上任取一点B1（x1，y1），利用中点公式求出它关于点A的对称点B2，证明点B2在曲线C1上，同样证明， 在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上． （3）曲线C与C1有且仅有一个公共点，即方程组有唯一解，对应的一元二次方程的判别式等于0， 【解答】（1）解：曲线C1的方程为 y＝（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s． （2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点， 则有，，所以x1＝t﹣x2，y1＝s﹣y2． 代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程： s﹣y2＝（t﹣x2）3﹣（t﹣x2），即y2＝（x2﹣t）3﹣（x2﹣t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上． 反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上． 因此，曲线C与C1关于点A对称． （3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解． 消去y，整理得 3tx2﹣3t2x+（t3﹣t﹣s）＝0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根． 所以t≠0并且其根的判别式Δ＝9t4﹣12t（t3﹣t﹣s）＝0，即 所以且t≠0． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）设B（0，﹣t）（t＞0），因为菱形ABCD对角线的交点Q在x轴上，根据射影定理，得，求得Q点坐标，进而求得D点坐标，去掉参数，求得D的轨迹曲线E； （Ⅱ）设点N（），可列出该点处的切线方程，将M点代入，由1＜m＜4，求得a的取值范围，易推得NM⊥AM，则S＝用a表示出△AMN面积，根据a的取值范围进而求得△AMN面积的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设B（0，﹣t）（t＞0），菱形ABCD的中心在x轴上，设为Q点． 由题意可知，，则Q（），又Q为BD的中点，因此点D（） 即点D的轨迹为（t为参数且t≠0）， 化为标准方程x2＝4y（x≠0）． （Ⅱ）设点N（），过点N的切线方程为：y﹣， 点M（m，0）在该切线方程上，∴， 即m＝，由1＜m＜4，可得2＜a＜8， ，即NM⊥AM， ∴S＝＝， 可知当2＜a＜8时，S为关于a的增函数，因此S的取值范围是（1，34）． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接根据题中条件求曲线D的方程． （2）把AB的方程代入椭圆的方程，求得A、B的坐标，可得AB的长，求得点C到直线AB的距离，可得△ABC的面积S＝|AB|•d的值． （3）由题意可得线段AC的中点M是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC，设AB的方程为y＝x+m，则BC＝． 把AB的方程为y＝x+m代入曲线D，利用韦达定理、弦长公式求得AB的值，可得三角形的外接圆直径AC的值，利用二次函数的性质求得当m＝﹣1时，AC2最大为11，从而求得△ABC的外接圆面积最大时线段AB所在直线的方程． 【解答】解：（1）设点P的坐标（ x，y），由条件得：•＝﹣， 化简得：曲线D的方程为：x2+3y2＝4，即 +＝1（x≠±2）， 表示一个椭圆上除去4个点． （2）根据AB∥l，可得AB的方程为y＝x，把AB的方程代入椭圆的方程可得x＝±1， 故可令A（﹣1，﹣1）、B（1，1），|AB|＝2． 点C到直线AB的距离等于直线AB与直线l之间的距离d＝＝， 故△ABC的面积S＝|AB|•d＝2． （3）∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点， ∴线段AC的中点M是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC． 设AB的方程为y＝x+m，则BC＝． 把AB的方程为y＝x+m代入曲线D：x2+3y2＝4，可得4x2+6mx+3m2﹣4＝0， ∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝， ∴AB＝•＝•＝•， ∴要使△ABC的外接圆的面积最大，只要AC最大，即只要AC2最大． 而AC2＝AB2+BC2＝2（4﹣m2）+＝﹣m2﹣2m+10， 故当m＝﹣1时，AC2最大为11，△ABC的外接圆的半径最大为＝， 此时，AB的方程为y＝x﹣1，即：x﹣y﹣1＝0． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设P（x，y），由|PB|＝2|PA|．可得＝2，化简即可得出． （2）设存在定点Q满足条件，设直线l的方程为y＝kx+b．设E（x1，y1），F（x2，y2）．直线l的方程与圆的方程联立化为：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣4＝0，由无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，可得kDE+kDF＝0，可得+＝0．（kx1+b）（x2﹣3）+（kx2+b）（x1﹣3）＝0，利用根与系数的关系代入即可得出．直线的斜率不存在直线过定点Q时，满足题意． 【解答】解：（1）设P（x，y），∵|PB|＝2|PA|． ∴＝2，化为：x2+y2＝4． （2）①设存在定点Q满足条件，设直线l的方程为y＝kx+b． 设E（x1，y1），F（x2，y2）． 联立， 化为：x2+（kx+b）2＝4， ∴（1+k2）x2+2kbx+b2﹣4＝0， Δ＞0． ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝， 无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF， 则kDE+kDF＝0， ∴+＝0． ∴（kx1+b）（x2﹣3）+（kx2+b）（x1﹣3）＝0， ∴2kx1x2+（b﹣3k）（x1+x2）﹣6b＝0， ∴2k•﹣（b﹣3k）﹣6b＝0， 化为：4k+3b＝0． ∴k＝﹣b． ∴y＝b（﹣x+1）， 可得直线经过定点（，0）． ②如果斜率不存在时，直线过定点Q时，满足题意． ∴存在过定点Q（，0）的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线的方程，即可得出结论． 【解答】解：当α＝0°时，cos0°＝1，曲线x2+y2＝1为一个单位圆；…（2分） 当0°＜α＜90°时，0＜cosα＜1，曲线为焦点在y轴上的椭圆；…（5分） 当α＝90°时，cos90°＝0，曲线x2＝1为两条平行的垂直于x轴的直线；…（7分） 当90°＜α＜1800时，﹣1＜cosα＜0，曲线为焦点在x轴上的双曲线；…（10分） 当α＝180°时，cos180°＝﹣1，曲线x2﹣y2＝1为焦点在x轴上的等轴双曲线．…（12分） 47．【答案】见试题解答内容 【分析】根据抛物线的方程，求出焦点坐标，然后求出椭圆的坐标，通过定义建立方程，化简即可得到椭圆C1的方程． 【解答】解：∵抛物线的焦点坐标为（1，0），∴点F2的坐标为（1，0）． ∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1（﹣1，0），抛物线C2的准线方程为x＝﹣1． 设点P的坐标为（x1，y1），由抛物线的定义可知|PF2|＝x1+1， ∵，∴，解得． 由，且y1＞0，得． ∴点P的坐标为． 在椭圆C1：中，c＝1． ∴． ∴． ∴椭圆C1的方程为． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设点B的坐标为（x0，y0），线段AB的中点为点M（x，y），由中点坐标公式和圆的方程可得所求轨迹方程； （2）运用三角形的面积公式和0＜y0≤1，可得所求最大值以及B的坐标； （3）求得C的轨迹方程，设轨迹为右半圆D，由圆的性质，连接OD并延长交右半圆D于点C'，计算可得所求最大值． 【解答】解：（1）设点B的坐标为（x0，y0），则y0＞0，设线段AB的中点为点M（x，y）， 由于点B在曲线Γ上，则 +＝1，① 因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y， 代入①式得（2x﹣2）2+y2＝1，化简得（x﹣1）2+y2＝，其中y＞0； （2）设B（x0，y0），0＜y0≤1， 三角形OAB的面积为•2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B（0，1）； （3）如下图所示，易知点D（2，2）， 结合图形可知，点C在右半圆D：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动， 问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值， 连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值， 且|OC|max＝|OD|+1＝2+1． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论； （2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论； （3）顶点An的横、纵坐标，消去n﹣1，利用所有顶点An均落在抛物线y2＝2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式． 【解答】（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8）， ∴． ∵， ∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上； （2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标＝2（n+1）2， 顶点An的纵坐标． ∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2＝2x， ∴所有顶点An均落在抛物线y2＝2x上． （3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是+（n﹣1）a， 消去n﹣1，可得 为使得所有顶点An均落在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则有 解之，得d＝4p，a＝8p． ∴a，d所应满足的关系式是：a＝2d． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】设点M的坐标为（x，y），欲求动点M的轨迹方程，即寻找x，y间的关系式，结合题中条件列式化简即可得；最后对参数λ分类讨论看方程表示什么曲线即可． 【解答】解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，式中常数λ＞0．因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2﹣|ON|2＝|MO|2﹣1． 设点M的坐标为（x，y），则＝λ 整理得（λ2﹣1）（x2+y2）﹣4λ2x+（1+4λ2）＝0． 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方程． 当λ＝1时，方程化为x＝，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（，0）， 当λ≠1时，方程化为（x﹣）2+y2＝（x2+y2＞1）它表示圆的一部分， 该圆圆心的坐标为（，0），半径为． 51．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分a＜0 时，a＝1 时，0＜a＜1 时，a＞1 时这四种情况分别讨论． （2）把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系、弦长公式求出 a 的值． （3）当a＝﹣1时，曲线C表示焦点在x轴上的等轴双曲线，直线l：kx﹣y﹣k＝0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x2，y2），把直线l的方程代入曲线C的方程，由根与系数的关系求得点N坐标及k值，由，求得点Q的坐标，从而得出结论． 【解答】解：（1）对于曲线，当a＜0 时，曲线表示焦点在x 轴上的双曲线； 当a＝1 时，曲线表示单位圆；当0＜a＜1 时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆； 当a＞1 时，曲线表示曲线表示焦点在y 轴上的椭圆． （2）当k＝1时，直线l的方程为 y＝x﹣1，代入曲线得，（a+1）x2﹣2x+1﹣a＝0， ∴x1+x2＝，x1•x2＝，由弦长公式得 ＝ ＝•＝•＝•， ∴a＝1，或 a＝﹣． （3）当a＝﹣1时，曲线 即 C：x2﹣y2＝1，表示焦点在x轴上的等轴双曲线． 直线l：kx﹣y﹣k＝0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x2，y2）． 把直线l：kx﹣y﹣k＝0代入曲线C的方程得 （1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣1＝0， 由题意知，1和x2是此方程的两个根， 由于Δ＝4k4﹣4（1﹣k2）（﹣k2﹣1）＞0，∴1+x2＝﹣，1×x2＝，∴x2＝． ∵，∴＝（ 1+x2，0+y2）＝（，）， ∴点Q的坐标为（•，•），点Q在曲线C上，则有Q点的坐标满足双曲线的方程， 化简可得 •＝1，即 λ2＝≥0，即 k2＝≥0， 由此求得λ＝0，或λ＞2，或λ＜﹣2． 故存在点Q满足条件，要求的λ的范围为{λ|λ＝0，或λ＞2，或λ＜﹣2}． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:33:35；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$