第二章 直线与圆锥曲线的位置关系-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】直线与圆锥曲线的位置关系 一．选择题（共25小题） 1．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线l与圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16相切，则p＝（　　） A．6 B．8 C．3 D．4 2．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＝1有公共焦点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝（　　） A． B． C． D． 4．若抛物线y2＝2px的准线为圆x2+y2+4x＝0的一条切线．则抛物线的方程为（　　） A．y2＝﹣16x B．y2＝﹣8x C．y2＝16x D．y2＝8x 5．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线的一个焦点，则p＝（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 7．已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y﹣1＝0； ②x2+y2＝3； ③+y2＝1； ④﹣y2＝1． 在曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 9．给出下列曲线： ①4x+2y﹣1＝0 ②x2+y2＝3 ③④ 其中与直线y＝﹣2x﹣3有交点的所有曲线是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 10．与椭圆C：+＝1共焦点且过点（1，）的双曲线的标准方程为（　　） A．x2﹣＝1 B．y2﹣2x2＝1 C．﹣＝1 D．﹣x2＝1 11．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A，B两点，若＝3，则k＝（　　） A．1 B． C． D．2 12．抛物线y＝﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8＝0距离的最小值是（　　） A． B． C． D．3 13．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 14．若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 15．已知直线y＝2（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M（﹣1，m），若•＝0，则m＝（　　） A． B． C． D．0 16．已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的准线经过C1的左焦点．若抛物线C2的焦点到C1的渐近线的距离为2，则C2的标准方程为（　　） A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝20x D．y2＝4x 17．圆M：（x﹣m）2+y2＝4与双曲线C：（a＞0，b＞0）的两条渐近线相切于A、B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（　　） A． B． C．2 D．3 18．已知椭圆C1：的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（　　） A． B． C． D． 19．已知双曲线＝1（a、b均为正数）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 20．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，点P是抛物线y2＝4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 21．已知曲线Γ：，则以下判断错误的是（　　） A．λ＜0或λ＞3时，曲线Γ一定表示双曲线 B．0＜λ＜3时，曲线Γ一定表示椭圆 C．当λ＝﹣3时，曲线Γ表示等轴双曲线 D．曲线Γ不能表示抛物线 22．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆x2+y2﹣2x+＝0相切，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 23．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k＝（　　） A． B． C． D． 24．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，双曲线C的一条渐近线与圆A：（x﹣a）2+y2＝b2交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 25．若双曲线﹣y2＝1（a＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，则双曲线的渐近线方程是（　　） A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x 二．填空题（共15小题） 26．若以双曲线﹣y2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是　 　． 27．若直线x﹣y＝2与抛物线y2＝4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是　 　． 28．已知圆E：（x﹣1）2+y2＝1的圆心与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F重合，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆E交于M，N两点（其中A点和M点在第一象限），则|AM|•|BN|＝　 　． 29．已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2＝1的离心率为　 　． 30．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是　 　． 31．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若抛物线C与圆O：x2+y2＝12交于P，Q两点，且|PQ|＝4，则△PFO的面积为（O为坐标原点） 　 　． 32．如图1，已知四面体A﹣BCD的所有棱长都为2，M，N分别为线段AB和CD的中点，直线MN垂直于水平地面，该四面体绕着直线MN旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一部分，则E的方程为 　 　． 33．在平面直角坐标系xOy中，r＞0，与抛物线C：y2＝4x有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则＝　 　． 34．若直线与曲线C：x2﹣y2＝2有两个不同交点，则实数t的取值范围是　 　． 35．已知抛物线ny2＝x（n＞0）的准线与圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5＝0相切，则n的值为　 　． 36．设F1，F2为椭圆C：+y2＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为直角三角形，则M的坐标为　 　 37．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与圆x2+y2＝a2相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若，则双曲线C的离心率为 　 　． 38．在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y2＝4x上，满足•＝﹣4，F是抛物线的焦点，则S△OFA•S△OFB＝　 　． 39．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝　 　，+＝　 　． 40．已知直线l：y＝1与y轴交于点M，Q为直线l上异于点M的动点，记点Q的横坐标为n，若曲线上存在点N，使得∠MQN＝45°，则n的取值范围是　 　．（用区间表示） 三．解答题（共10小题） 41．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 42．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由． 43．已知抛物线C：y＝ax2（a＞0）的交点为F，直线x＝2与x轴相交于点M，与曲线C相交于点N，且 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线l交抛物线C与A、B两点，AB的垂直平分线m与C相交于C、D两点，使，求直线l的方程． 44．椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线C＝{（x，y）|y2＝x3+ax+b，4a3+27b2≠0}．P∈C关于x轴的对称点记为．C在点P（x，y）（y≠0）处的切线是指曲线y＝±在点P处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P∈C，Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P⊕Q＝；②若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P则P⊕Q＝；③若P∈C，规定P⊕，且P⊕0°＝0°⊕P＝P． （1）当4a3+27b2＝0时，讨论函数h（x）＝x3+ax+b零点的个数； （2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P＝； （3）已知P（x1，y1）∈C，Q（x2，y2）∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标． 参考公式：m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2） 45．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且|PQ|＝2．圆C1，C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切．求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值． 46．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）证明：过椭圆C1：+＝1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+＝1； （Ⅲ）过圆x2+y2＝16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值． 47．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2＝2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P． （1）求实数m的取值范围（用a表示）； （2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）． 48．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣，0），直线l：x＝﹣，动点P到点M的距离与到直线l的距离之比为． （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设曲线E与x轴交于A、B两点，过定点N（﹣1，0）的直线与曲线E交于C、D两点（与A、B不重合），证明：直线AC，BD的交点在定直线上． 49．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12＝0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 50．椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|＝2，∠PF2Q＝90°，且△PF2Q的面积为1． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 精选易错题练习—【第二章】直线与圆锥曲线的位置关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】D 【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可． 【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线l：y＝﹣与圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16相切， 可得＝4，解得p＝4． 故选：D． 2．【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程可得＝，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝3，即a2+b2＝9，②，解方程可得a，b的值，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x， 可得＝，① 椭圆＝1的焦点为（±3，0）， 可得c＝3，即a2+b2＝9，② 由①②可得a＝2，b＝， 则双曲线的方程为﹣＝1． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据已知中抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F， ∴F点的坐标为（1，0） 又∵直线y＝2x﹣4与C交于A，B两点， 则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则＝（0，﹣2），＝（3，4）， 则cos∠AFB＝＝＝﹣， 故选：D． 4．【答案】C 【分析】由题意得抛物线的准线方程为x＝﹣，且已知圆的圆心为（﹣2，0），半径r＝2．根据圆与抛物线的准线相切，利用点到直线的距离公式加以计算，算出p，即可得到该抛物线方程． 【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， ∴抛物线的准线方程为x＝﹣． ∵圆（x+2）2+y2＝4的圆心为（﹣2，0），半径r＝2． ∴由圆与抛物线的准线相切，可得圆心到直线x＝﹣的距离等于半径， 即|﹣2+|＝2，解之得p＝8或0舍去． 当p＝8时，抛物线方程为y2＝16x； 故选：C． 5．【答案】D 【分析】利用已知条件，求出抛物线的焦点坐标，与双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可． 【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线的一个焦点， 可得＝，解得p＝16， 故选：D． 6．【答案】C 【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得． 【解答】解：由题意，双曲线的一条渐近线方程为， 代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a＝0， 因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2＝0， 即， 故选：C． 7．【答案】D 【分析】要使这些曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．根据M，N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可． 【解答】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交． MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为＝ ∴MN的垂直平分线为y＝﹣2（x+）， ∵①4x+2y﹣1＝0与y＝﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意． ②x2+y2＝3与y＝﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6＝0，Δ＝144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点， ③中的方程与y＝﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16＝0，Δ＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点， ④中的方程与y＝﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20＝0，Δ＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点， 故选：D． 8．【答案】C 【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0），y2＝16x的准线l：x＝﹣4，由C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长． 【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）， y2＝16x的准线l：x＝﹣4， ∵C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝﹣4交于A，B两点， ∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2）， 将A点坐标代入双曲线方程得＝4， ∴a＝2，2a＝4． 故选：C． 9．【答案】D 【分析】先看①中直线的斜率与直线y＝﹣2x﹣3相等可判断两直线平行，不可能有交点．进而把直线方程与②③④中的曲线方程联立消去y，进而根据△大于0可判定与他们均有交点． 【解答】解：∵直线y＝﹣2x﹣3和4x+2y﹣1＝0 的斜率都是﹣2 ∴两直线平行，不可能有交点． 把直线y＝﹣2x﹣3与x2+y2＝3联立消去y得5x2+12x+6＝0，Δ＝144﹣120＞0，∴直线与②中的曲线有交点． 把直线y＝﹣2x﹣3与联立消去y得9x2+24x+12＝0，Δ＝24×24﹣18×24＞0，直线与③中的曲线有交点． 把直线y＝﹣2x﹣3与联立消去y得7x2﹣24x﹣12＝0，Δ＝24×24+4×7×12＞0，直线与④中的曲线有交点． 故选：D． 10．【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，根据双曲线基本量的关系结合题意建立关于a、b的方程组，解之得a2＝b2＝2，即得该双曲线的标准方程． 【解答】解：设双曲线的方程为，根据题意得 ，解之得a2＝b2＝2 ∴该双曲线的标准方程为﹣＝1 故选：C． 11．【答案】B 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵，∴y1＝﹣3y2， ∵，设，b＝t， ∴x2+4y2﹣4t2＝0①， 设直线AB方程为，代入①中消去x，可得， ∴，， 解得， 故选：B． 12．【答案】B 【分析】设抛物线y＝﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8＝0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值． 【解答】解：设抛物线y＝﹣x2上一点为（m，﹣m2）， 该点到直线4x+3y﹣8＝0的距离为： ＝ ＝ ∴当m＝时，取得最小值为， 故选：B． 13．【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x的焦点（2，0）重合， 可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：， 抛物线的准线方程为：x＝﹣2， 由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）． |AB|＝6． 故选：B． 14．【答案】A 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0， 圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：＝， 解得：，可得e2＝4，即e＝2． 故选：A． 15．【答案】B 【分析】直接利用直线方程与抛物线方程联立方程组求出AB坐标，通过数量积求解m即可． 【解答】解：由题意可得：，8x2﹣20x+8＝0，解得x＝2或x＝， 则A（2，2）、B（，）． 点M（﹣1，m），若•＝0， 可得（3，2m）（，﹣）＝0． 化简2m2﹣2m+1＝0，解得m＝． 故选：B． 16．【答案】D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点F，运用点到直线的距离公式和离心率公式，即可得到p的方程，解得p，即可得到抛物线方程． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝， 抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（，0）， 则F到渐近线的距离为d＝＝2，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为， 即e＝＝， b＝＝2a， 则有， 解得p＝2， 则有抛物线的方程为y2＝4x． 故选：D． 17．【答案】A 【分析】由题意可得|AB|＝2，|MA|＝2，MA⊥OA，可得∠AOM＝30°，可得a，b的关系，进而求出离心率的值． 【解答】解：如图所示，|AB|＝2，|MA|＝2，MA⊥OA 所以∠AOM＝30°，即渐近线与x轴的夹角为30°，所以tan30°＝＝， 所以e＝＝＝， 故选：A． 18．【答案】A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值． 【解答】解：由题意，F1（﹣2，0），则抛物线方程为y2＝8x． 计算可得|PF1|＝，|PF2|＝2a﹣． 过Q作QM⊥直线l与M，由抛物线的定义知，|QF2|＝|QM|． ∵，∴， 解得：|MQ|＝12（3﹣2）． ∴|QF2|＝|MQ|＝12（3﹣2）． 故选：A． 19．【答案】A 【分析】由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y＝和y＝﹣，由△AOB的面积为3，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）， ∴双曲线的渐近线方程是y＝±x， 又∵抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2， ∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于A，B两点， ∴A，B两点的纵坐标分别是y＝和y＝﹣， ∵△AOB的面积为3， ∴×2×＝3， ∴4b＝3a，4c＝5a， ∴e＝＝． 故选：A． 20．【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，根据三角形两边之和不小于第三边，转化求解双曲线的a，b，得到双曲线方程． 【解答】解：设F为抛物线y2＝4x的焦点，则F（1，0），抛物线y2＝4x准线方程为x＝﹣1， 因此P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x＝﹣1的距离之和等于PF1+PF， 因为PF1+PF≥F1F，所以，即， ∴，又，∴a2＝4，b2＝3， 即双曲线的方程为． 故选：B． 21．【答案】B 【分析】通过λ的取值，判断曲线的形状，判断选项的正误即可． 【解答】解：对Γ：，当2λ（3﹣λ）＜0，即λ＜0或λ＞3时，曲线Γ表示双曲线， 当λ＝﹣3时，Γ：表示等轴双曲线， 因为无论λ取何值，曲线方程均只含x2，y2项与常数项，因此A，C，D正确； 当λ＝1时，Γ：x2+y2＝2表示圆，B错误， 故选：B． 22．【答案】C 【分析】写出双曲线的一条渐近线方程，再由圆的方程求得圆心坐标与半径，由点到直线的距离公式列式求解双曲线C的离心率． 【解答】解：取双曲线C：的一条渐近线方程为y＝， 即bx﹣ay＝0． 化圆为， 则圆心坐标为（1，0），半径为． 由题意可得：，即， ∴，则c2＝5a2，得e＝． 故选：C． 23．【答案】B 【分析】由题意可得直线AB的方程 y﹣0＝k （x+1），k＞0，代入抛物线y2＝4x化简求得x1+x2 和x1•x2，进而得到y1+y2和y1•y2，由 ，解方程求得k的值． 【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y﹣0＝k （x+1），k＞0． 代入抛物线y2＝4x化简可得 k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0， ∴x1+x2＝，x1•x2＝1． ∴y1+y2＝k（x1+1）+k（x2+1）＝+2k＝， y1•y2＝k2（x1+x2+x1•x2+1）＝4． 又 ＝（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2＝8﹣， ∴k＝， 故选：B． 24．【答案】C 【分析】设渐近线为y＝x，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（a2+b2）x2﹣2a3x+a4﹣a2b2＝0，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算+＝2，得＝，化简即可得出答案． 【解答】解：设渐近线方程为y＝x， 若渐近线与圆A：（x﹣a）2+y2＝b2相交， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，得（a2+b2）x2﹣2a3x+a4﹣a2b2＝0， 所以c2x2﹣2a3x+a4﹣a2b2＝0， 所以x1+x2＝，x1x2＝， 所以＝（x1+c，y1），＝（c，0），＝（x2+c，y2）， 又因为+＝2， 所以x1+c+c＝2（x2+c）， 所以x1＝2x2， 所以x1+x2＝3x2＝， 所以x2＝，则x22＝， 所以x1x2＝2x22＝，则x22＝， 所以＝， 化简得9c4﹣18a2c2+8a4＝0， 所以9e2﹣18+＝0， 所以9e4﹣18e2+8＝0， 所以e2＝＝， 所以e2＝（舍）或e2＝ 又双曲线的离心率e＞1， 所以e＝， 故选：C． 25．【答案】A 【分析】求出圆的圆心与半径，双曲线的渐近线方程，然后求解渐近线方程即可． 【解答】解：圆x2+（y﹣2）2＝1的圆心（0，2）与半径为：1，双曲线的渐近线方程为：x+ay＝0， 双曲线﹣y2＝1（a＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝1相切， 可得：＝1，解得a＝， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x． 故选：A． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可得：双曲线﹣y2＝1的右顶点为（2，0），并且渐近线方程为：，即可得到圆的圆心，再利用点到直线的距离公式可得圆的半径，进而得到答案． 【解答】解：由题可得：双曲线﹣y2＝1的右顶点为（2，0），并且渐近线方程为：， 因为右顶点为圆的圆心，所以r＝． 所以圆的标准方程是（x﹣2）2+y2＝． 故答案为（x﹣2）2+y2＝． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，再根据y＝x﹣2得到y1+y2，利用中点坐标公式整体代入即可求出线段AB的中点坐标． 【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得， 消去y得到x2﹣8x+4＝0，利用根与系数的关系得到x1+x2＝8，则y1+y2＝x1+x2﹣4＝4 中点坐标为（，）＝（4，2） 故答案为：（4，2） 28．【答案】1． 【分析】求出抛物线y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x＝ty+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的定义知，|AF|＝x+1，|BF|＝x2+1，然后求解即可． 【解答】解：圆E：（x﹣1）2+y2＝1的圆心（1，0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F重合， 所以p＝2， 抛物线方程为：y2＝4x， 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x＝ty+1， 代入抛物线方程，得y2﹣4ty﹣4＝0．所以y1y2＝﹣4， 因为圆E的圆心为抛物线焦点F， 根据抛物线的定义知，|AF|＝x+1，|BF|＝x2+1， 故|AM|＝x1，|BN|＝x2， 所以． 因为y1y2＝﹣4，所以|AM|•|BN|＝1． 故答案为：1． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】利用等比数列的性质求出m，然后利用椭圆以及双曲线的性质求出离心率即可． 【解答】解：实数1，m，4构成一个等比数列，可得m＝±2， m＝2时，圆锥曲线+y2＝1，它的离心率为：e＝＝． m＝﹣2时，圆锥曲线y2﹣＝1，它的离心率为：e＝＝． 故答案为：或． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求． 【解答】解：设△ABF2内切圆的半径为r， 椭圆的方程为， 其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4， AB与x轴垂直， 则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝， 解得：|AF1|＝，|AF2|＝， △ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝， 其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝， 由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝． ∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0）， 则△ABF2的内切圆方程是， 故答案为：． 31．【答案】． 【分析】求出P的坐标，代入抛物线方程，求解p，即可得到抛物线方程． 【解答】解：不妨设P在第一象限，则yP＝2，代入x2+y2＝12中，解得：xP＝2，故P（2，2）， 代入抛物线方程可得p＝2，所以△PFO的面积为：＝． 故答案为：． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】通过补形，将该四面体放入正方体中，得正方体的棱长为2，对棱AC，BD的中点间的距离等于正方体的棱长2，故双曲线的实轴长为2，该双曲线过点P（，1），进而得双曲线的方程． 【解答】解：通过补形，将该四面体放入正方体中，使得四面体的棱恰好时正方体的面对角线， 易得正方体的棱长为2，对棱AC，BD的中点间的距离等于正方体的棱长2， 故双曲线的实轴长为2，该双曲线过点P（，1）， 则，故双曲线的方程为x2﹣y2＝1． 故答案为：x2﹣y2＝1． 33．【答案】0． 【分析】根据给定条件，求出圆心M的坐标，设出直线1的方程，与抛物线方程联立求解作答． 【解答】解：因⊙M与抛物线C有且仅有两个公共点，而⊙M与抛物线C都关于x轴对称， 因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一， 由消去y并整理得：，且x≥0， 于是得，解得r＝4，即点M（4，0）， 显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝ty+4， 由消去x并整理得：y2﹣4ty﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣16，所以． 故答案为：0． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】直线方程即y＝tx+，代入曲线C：x2﹣y2＝2化简可得 （1﹣t2）x2+2tx﹣8＝0有两个不同的解，故有 ，由此求得 实数t的取值范围． 【解答】解：直线方程即 y＝tx+，代入曲线C：x2﹣y2＝2化简可得 （1﹣t2）x2+2tx﹣8＝0． 由题意可得，此方程有两个不同的解，故有 ，即 ． ∴实数t的取值范围是 （﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2）， 故答案为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2）． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径求得n． 【解答】解：由x2+y2﹣8x﹣4y﹣5＝0，得 （x﹣4）2+（y﹣2）2＝25， ∴圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5＝0是以（4，2）为圆心，以5为半径的圆， ∵抛物线ny2＝x的准线x＝与圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5＝0相切， ∴4﹣（﹣）＝5，即n＝． 故答案为：． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】通过△MF1F2为直角三角形，判断直角顶点的位置，通过求解圆的方程与椭圆方程的方程组，推出然后求解M的坐标以及利用焦点的横坐标代入椭圆方程求解即可． 【解答】解：设F1，F2为椭圆C：+y2＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限． 若△MF1F2为直角三角形，M为三角形的直角顶点时，M在以原点为圆心、为半径的圆上， 可得，因为M在第一象限，所以M的横坐标与纵坐标都大于0， 解得x＝，y＝． 所以M（，）． 点F2为直角三角形的直角顶点时，椭圆的右焦点F2（，0），此时M（，） 故答案为：（，）或（，）． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可得|OF1|＝c，|OT|＝a，则|F1T|＝b，由向量共线定理可得|TP|＝2b，|F1P|＝3b，运用双曲线的定义，作F2M∥OT，结合中位线定理和直角三角形的勾股定理可得2b＝3a，再由离心率公式可得所求值． 【解答】解：由题意可得|OF1|＝|OF2|＝c，|OT|＝a，则|F1T|＝＝b， 若，则|TP|＝2b，|F1P|＝3b， 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|PF2|＝3b﹣2a， 作F2M∥OT，可得|F2M|＝2a，|TM|＝b，则|PM|＝b， 在直角三角形MPF2中，|MP|2+|MF2|2＝|PF2|2，即b2+（2a）2＝（3b﹣2a）2， 化为2b＝3a，则e＝＝＝＝． 故答案为：． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】设l过A、B的方程为：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x，通过•＝﹣4，得到直线恒过的定点，判断出A、B的位置，然后求出结果即可． 【解答】解：设l过A、B的方程为：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得 y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2） 则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b， ∴•＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2 ＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2 ＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b 令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2． ∴直线l过定点（2，0）． 当x＝2时，y＝，此时|y1y2|取得最小值8， ∴S△OFA•S△OFB＝|y1y2|＝＝2． 故答案为：2． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】本题先根据抛物线焦点坐标可得p的值，然后根据抛物线的定义和准线，可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．再根据直线斜率存在与不存在两种情况进行分类讨论，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理最终可得结果． 【解答】解：由题意，抛物线C的焦点F（1，0）， ∴＝1，故p＝2． ∴抛物线C的方程为：y2＝4x． 则可设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由抛物线的定义，可知：|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1． ①当斜率不存在时，x1＝x2＝1． ∴＝+＝+＝1． ②当斜率存在时，设直线l斜率为k（k≠0），则直线方程为：y＝k（x﹣1）． 联立， 整理，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0， ∴． ∴＝+＝＝＝1． 综合①②，可知：＝1． 故答案为：2；1． 40．【答案】 【分析】由题意知，Q（n，1）（n≠0），设直线QN的方程为lQN：y＝k（x﹣n）+1，然后分Q在第一象限和Q在第二象限，分别求出k的值，再联立直线lQN与椭圆的方程后，再根据Δ＝0，解出n的值即可得解． 【解答】解：由题意知，Q（n，1），n≠0， 设直线QN的方程为lQN：y＝k（x﹣n）+1， 若Q在第一象限，由∠MQN＝45°，知k＝1， 当lQN与椭圆相切时，n取得最大值， 联立，得3x2+4（1﹣n）x+2（n2﹣2n）＝0， ∴Δ＝16（1﹣n）2﹣24（n2﹣2n）＝0，解得n＝1+或n＝1﹣（舍负）； 若Q在第二象限，由∠MQN＝45°，知k＝﹣1， 当lQN与椭圆相切时，n取得最小值， 联立，得3x2﹣4（1+n）x+2（n2+2n）＝0， ∴Δ＝16（1+n）2﹣24（n2+2n）＝0，解得n＝﹣1﹣或n＝﹣1+（舍正）． 综上所述，． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D＝m，F＝﹣2，代入（0，1），可得E＝1，再令x＝0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值． 【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1，0），B（x2，0）， 由韦达定理可得x1x2＝﹣2， 若AC⊥BC，则kAC•kBC＝﹣1， 即有•＝﹣1， 即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价， 可得D＝m，F＝﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0， 另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d）， 令x＝0，可得y2+y﹣2＝0， 解得y＝1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）设抛物线的方程为x2＝2py，由抛物线的定义和已知条件可得p的方程，解p可得； （Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），由切线和垂直关系以及韦达定理可得y1的方程，解y1进而可得x1，可得符合题意的点P． 【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0）， 设A（xA，yA），B（xB，yB）， 由抛物线定义可知yA+yB+p＝8， 又AB中点到x轴的距离为3， ∴yA+yB＝6，∴p＝2， ∴抛物线的标准方程是x2＝4y； （Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2）， 则x2＝4y在P处的切线方程是y＝x﹣y1， 直线PQ：y＝﹣x+2+y1代入x2＝4y得x2+x﹣4（2+y1）＝0， 由韦达定理可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣8﹣4y1， ∴x2＝﹣﹣x1，y2＝+y1+4， 而＝y12﹣2y1﹣﹣7＝0， 整理可得y13﹣2y12﹣7y1﹣4＝0，（y1＞0）， 变形可得y13+y12﹣3y12﹣7y1﹣4＝0， 可得y12（y1+1）﹣3y12﹣7y1﹣4＝0， 可得y12（y1+1）﹣（3y12+7y1+4）＝0， 即y12（y1+1）﹣（y1+1）（3y1+4）＝0， 可得（y1+1）（y12﹣3y1﹣4）＝0， 可得（y1+1）（y1+1）（y1﹣4）＝0 即（y1+1）2（y1﹣4）＝0， 解得y1＝4，故存在点P（±4，4）满足题意． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将抛物线转化成标准方程，求的焦点坐标，，根据抛物线的第二定义，即可求得丨MN丨＝，求得N点坐标，代入抛物线方程即可求得a值，求得抛物线方程； （2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理即弦长公式求得H点坐标、丨AB丨和丨AH丨，同理设出直线CD：y＝﹣x+k2+，求得Q点坐标、丨CD丨和丨HQ丨2，在Rt△ACD中，丨AQ丨＝丨CD丨，根据勾股定理丨AH丨2+丨HQ丨2＝丨AQ丨2，即可求得k值，求得直线方程． 【解答】解：（1）由已知抛物线C：x2＝y（a＞0）的焦点F（0，）， 由，得丨FN丨＝丨MN丨＝丨MN丨+，即丨MN丨＝， 点N（2，4a），所以＝4a（a＞0）a＝， 所以抛物线方程：x2＝2y； （2）设AB与CD相交于H，CD的中点为Q， 由题意可知直线m斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 设直线方程l：y＝kx+，代入抛物线方程x2＝2y，整理得：x2﹣2kx﹣1＝0， 由韦达定理可知：x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣1， H（k，k2+），丨AB丨＝＝2（2+k2）， 丨AH丨＝2+k2， ∴lCD：y＝﹣x+k2+，与x2＝2y联立得：x2+x﹣（2k2+3）＝0， 设C（x3，y3），D（x4，y4）， 由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣（2k2+3）， 求得Q（﹣，+k2+）， 丨CD丨＝＝， 在Rt△ACD中，丨AQ丨＝丨CD丨，又丨AH丨2+丨HQ丨2＝丨AQ丨2， （1+k2）2+（k+）2+（+1）2＝， 解得k＝±1， 直线l的方程为y＝±x+ 44．【答案】（1）当b＜0时，h（x）有2个零点； 当b＞0时，h（x）有2个零点； 当a＝0，b＝0时，h（x）仅有一个零点； （2）证明见解答． （3）（（）2﹣x1﹣x2，[（）2﹣2x1﹣x2]+y1）． 【分析】（1）利用函数的导数，判断函数的单调性，通过b的取值，判断函数的零点个数． （2）利用新定义，结合已知条件转化证明求解即可． （3）求出直线方程，代入曲线方程，转化求解交点坐标即可． 【解答】（1）解：由题设可知a≤0，有h′（x）＝3x2+a， 若a＝0，则b＝0，则h（x）＝x3，此时h（x）仅有一个零点； 若a＜0，令h′（x）＝0，解得 ． 当 或 时，h′（x）＞0，当 时，h′（x）＜0，故h（x）在 上为单调递增； 在 上h（x）单调递减． 因为4a3+27b2＝0． 若b＜0，则， 此时．而， 故此时h（x）有2个零点； 若b＞0，则 ， 此时 ，而 ， 故此时h（x）有2个零点； 综上，当b＜0时，h（x）有2个零点； 当b＞0时，h（x）有2个零点； 当a＝0，b＝0时，h（x）仅有一个零点； （2）证明：因为P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，所以P⊕Q＝， 故P⊕（P⊕Q）＝P⊕＝0°，故（P⊕P）⊕Q）⊕＝0°⊕＝， 因为“⊕”运算满足交换律、结合律， 故（（P⊕P）⊕Q）⊕＝P⊕（P⊕（Q⊕））＝P⊕（P⊕0°）＝P⊕P，故P⊕P＝． （3）解：已知P（x1，y1）∈C，Q（x2，y2）∈C，直线PQ的斜率：λ＝， 直线PQ与C有第三个交点为（x3，y3），则y3＝λ（x3﹣x1）+y1，代入＝+ax3+b， 可得＝+ax3+b，而＝+ax1+b， 故+ax1+b＝+ax3+b， 整理可得：＝﹣+a（x3﹣x1）， 化为：， 同理可得：， 两式相减化简可得：＝0， ＝0，故， 可得x3＝（）2﹣x1﹣x2， 所以y3＝[（）2﹣2x1﹣x2]+y1， 因此P⊕Q的坐标为：（（）2﹣x1﹣x2，[（）2﹣2x1﹣x2]+y1）． 45．【答案】（，0）． 【分析】设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），点Q的坐标为（﹣a，0）（a＞0），C1，C2的圆心分别为O1（x1，y1），O2（x2，y2），再设直线PQ的方程为x＝my﹣a（m＞0），将其与C的方程联立，由PQ与C相切，利用判别式等于0可得P点的坐标为（a，），结合|PQ|＝2，可得4a2+2pa＝4，由OP与圆C1，C2相切于P，则OP⊥O1O2，设C1，C2与x轴分别相切于点M、N，由射影定理结合4a2+2pa＝4，得，再由O1、P、O2共线，得，令T＝，则圆C1，C2的面积之和为πT，仅考虑T取到最小值的情况，利用换元法及基本不等式求得T的最小值，即可得到使T取得最小值时的F的坐标． 【解答】解：设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0）， 点Q的坐标为（﹣a，0）（a＞0）， 并设C1，C2的圆心分别为O1（x1，y1），O2（x2，y2）． 设直线PQ的方程为x＝my﹣a（m＞0），将其与C的方程联立， 消去x可得y2﹣2pmy+2pa＝0． ∵PQ与C相切于点P，则Δ＝4p2m2﹣8pa＝0，解得m＝， 可得P点的坐标为（a，）， 于是＝． 由|PQ|＝2，可得4a2+2pa＝4．① 注意到OP与圆C1，C2相切于P，则OP⊥O1O2， 设C1，C2与x轴分别相切于点M、N，则OO1、OO2分别是∠POM、∠PON 的平分线，故∠O1OO2＝90°，从而由射影定理知 ＝a2+2pa， 结合①，得．② 由O1、P、O2共线，可得， 化简得：，③ 令T＝，则圆C1，C2的面积之和为πT， 根据题意，仅考虑T取到最小值的情况． 根据②③可知，T＝ ＝． 作代换t＝1﹣a2，由于4t＝4﹣4a2＝2pa＞0，∴t＞0． 于是T＝＝． 上式等号成立当且仅当t＝，此时a＝， 结合①得． 从而F的坐标为（）＝（，0）． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程； （Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2＝16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝， 又a2﹣b2＝c2，解得a＝2，b＝1， 即有椭圆C方程为+y2＝1． （Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y＝kx+t，联立椭圆方程+＝1， 可得n2x2+m2（kx+t）2＝m2n2，化简可得： （n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）＝0，① 由题可得：Δ＝4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）＝0 化简可得：t2＝m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0， x0＝﹣＝﹣，x0为切点的横坐标， 切点的纵坐标y0＝kx0+t＝， 所以＝﹣，所以k＝﹣， 所以切线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0） ＝﹣（x﹣x0）， 化简得：+＝1． 当切线斜率不存在时，切线为x＝±m，也符合方程+＝1， 综上+＝1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+＝1； （Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2＝16上一点， PA，PB是椭圆+y2＝1的切线， 切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y＝1， 过点B的椭圆的切线为+y2y＝1． 由两切线都过P点，+y1yP＝1，+y2yP＝1 即有切点弦AB所在直线方程为+yyP＝1． M（0，），N（，0）， |MN|2＝+＝（+）• ＝（17++）≥（17+2）＝， 当且仅当＝即xP2＝，yP2＝时取等， 则|MN|，即|MN|的最小值为． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）联立方程，组成方程组，问题转化为方程x2+2a2x+2a2m﹣a2＝0在x∈（﹣a，a）上有唯一解或等根，再讨论三种情况，可得实数m的取值范围； （2）分类讨论，表示出△OAP的面积，比较两个面积的大小关系，即可求得结论． 【解答】解：（1）由消去y得，x2+2a2x+2a2m﹣a2＝0． ① 设f（x）＝x2+2a2x+2a2m﹣a2，问题（1）转化为方程①在x∈（﹣a，a）上有唯一解或等根． 只须讨论以下三种情况： 1°Δ＝0得m＝，此时xp＝﹣a2，当且仅当﹣a＜﹣a2＜a，即0＜a＜1时适合； 2°f（a）•f（﹣a）＜0当且仅当﹣a＜m＜a； 3°f（﹣a）＝0得m＝a，此时 xp＝a﹣2a2，当且仅当﹣a＜a﹣2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f（a）＝0得m＝﹣a，此时 xp＝﹣a﹣2a2，由于﹣a﹣2a2＜﹣a，从而m≠﹣a． 综上可知，当0＜a＜1时，m＝或﹣a＜m≤a；当a≥1时，﹣a＜m＜a． （2）△OAP的面积S＝ayp． ∵0＜a＜，∴﹣a＜m≤a时，，由唯一性得xp＝． 显然当m＝a时，xp取值最小． 由于xp＞0，从而取值最大，此时yp＝2，∴S＝a． 当m＝时，xp＝﹣a2，yp＝，此时S＝a． 下面比较a与a的大小： 令a＝a，得a＝． 故当0＜a≤时，，此时Smax＝． 当＜a＜时，，此时Smax＝a．…（20分） 48．【答案】（1）．（2）证明详见解析． 【分析】（1）根据已知条件，可推得，化简整理，即可求解． （2）设过点N（﹣1，0）的直线方程为x＝my﹣1，将直线代入椭圆E的方程，化简整理可得，（m2+4）y2﹣2my﹣3＝0，结合韦达定理可得，y1+y2＝，y1y2＝ ①，再联立直线AC和BD的方程，即可求证． 【解答】解：（1）设P（x，y）， ∵点M（﹣，0），直线l：x＝﹣，动点P到点M的距离与到直线l的距离之比为， ∴，化简整理可得，， 故点P的轨迹E是椭圆，方程为． （2）证明：由题意知，直线的斜率不为0， 设过点N（﹣1，0）的直线方程为x＝my﹣1， 代入椭圆E的方程，化简整理可得，（m2+4）y2﹣2my﹣3＝0， ∵Δ＝4m2+12（m2+4）＝16（m2+3）＞0， ∴设C（x1，y1），D（x2，y2），（x1，x2≠±2）， 由韦达定理可得，y1+y2＝，y1y2＝ ①， 由（1）得A（﹣2，0），B（2，0）， 则直线AC的方程为y＝，直线BD的方程为y＝， 联立两直线方程，消去y可得，x＝2• ②， 将x1＝my1﹣1，x2＝my2﹣1代入②，整理可得x＝2• ③， 将①式代入③，整理可得，x＝，即直线AC与直线BD的交点的横坐标恒等于﹣4， 故直线AC，BD的交点恒在定直线x＝﹣4上． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x＝my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（1）由题意得e＝＝，a2﹣b2＝c2， 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12＝0相切，可得 d＝＝b，解得a＝4，b＝2，c＝2， 故椭圆C的方程为+＝1； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 直线PQ的方程为x＝my+3，代入椭圆方程3x2+4y2＝48， 得（4+3m2）y2+18my﹣21＝0， ∴y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣， 由A，P，M三点共线可知，＝，即yM＝•； 同理可得yN＝•． 所以k1k2＝•＝＝． 因为（x1+4）（x2+4）＝（my1+7）（my2+7＝m2y1y2+7m（y1+y2）+49， 所以k1k2＝ ＝＝﹣． 即k1k2为定值﹣． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用已知条件推出平行四边形PF1QF2为矩形，求出c，通过三角形的面积求解a，然后求解b，即可得到椭圆方程． （2）利用，通过韦达定理求出m值，然后求解定点坐标． 【解答】解：（1）∠PF2Q＝90°⇒平行四边形PF1QF2为矩形， ⇒|F1F2|＝|PQ|＝2⇒c＝1， 又PF1+PF2＝2a，得a2＝2，b2＝1， 椭圆方程：…．（4分） （2）解：设直线l：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 …．（6分） 以MN为直径的圆经过点A， ⇒3m2﹣2m﹣1＝0…．（10分） 又直线不经过A（0，1），所以m≠1，， 直线l：y＝kx﹣， 直线经过定点…（12分） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:45:43；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$