第八章 三角恒等变换-高中数学必修第三册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第八章】三角恒等变换 一．选择题（共25小题） 1．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 2．若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 3．函数y＝cos2x+sinxcosx图像的对称轴是（　　） A．x＝+（k∈Z） B．x＝﹣（k∈Z） C．x＝kπ+（k∈Z） D．x＝kπ﹣（k∈Z） 4．已知α∈（0，π），且sinα＝，则tan（﹣α）＝（　　） A．± B．±7 C．﹣或﹣7 D．或7 5．设α，β，sinαcosβ＝3sinβcosα，则α﹣β的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．若sin（﹣α）＝，α∈（0，），则tan2α＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 7．若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象关于直线x＝对称，则当ω取最小值时，f（x）在[0，]的最小值为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D．﹣2 9．已知tan20°+λcos70°＝3，则λ的值为（　　） A． B．2 C．3 D．4 10．已知sin（α）＝，则cos（﹣2α）＝（　　） A． B． C． D． 11．已知角α，β满足，则sin（α+2β）的值为（　　） A． B． C． D． 12．已知0＜α＜，cosα＝，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 13．若＝2，则＝（　　） A． B． C． D． 14．若角α顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x+y＝0上，则＝（　　） A． B． C． D． 15．已知sin（α+）＝，cos2α＝﹣，那么sinα＝（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 16．已知cos（）＝，则sin（2）＝（　　） A． B． C． D． 17．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 18．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b＝2，，则△ABC面积S的最大值为（　　） A．3 B． C． D． 19．已知α为锐角，若，则tan2α＝（　　） A． B． C． D． 20．在（﹣，）上，满足方程sin（2x+）＝cos（+x）的x值为（　　） A． B．± C． D．± 21．化简sin415°﹣sin475°＝（　　） A． B． C． D． 22．如图，点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 23．已知函数f（x）＝cos（﹣x）cos（+x）﹣cos2x+，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（　　） A．π， B．π， C．2π， D．2π， 24．若tan（﹣x）＝2tan（+x），则sin2x＝（　　） A． B． C． D． 25．已知为函数的图象的一条对称轴，若f（x1）+f（x2）＝0，且f（x）在（x1，x2）单调，则f（x1+x2）＝（　　） A．0 B．1 C． D．2 二．填空题（共15小题） 26．已知，则＝　 　． 27．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝　 　． 28．已知，则sin2θ＝　 　． 29．＝　 　． 30．函数f（x）＝sin6x+cos6x的最小正周期为　 　． 31．+的值为　 　． 32．已知sin（α+）＝，则sin2α＝　 　． 33．若cos（）﹣sinα＝，则sin（）＝　 　． 34．已知，则sin2x的值等于　 　． 35．若△ABC的内角A，B满足cosAcosB＝，则sinAsinB的最大值为　 　． 36．已知函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，，则f（x）的单调递增区间为　 　． 37．＝　 　． 38．已知sin（α+）＝，且，则cosα＝　 　． 39．已知α为锐角，且，则sinα＝　 　． 40．底面是同一个边长为a的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为R，设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值为　 　． 三．解答题（共10小题） 41．（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA＝α，，． （1）若，求x1的值； （2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）＝S1+S2，求函数f（α）的最大值． 42．已知向量＝（2，sinα），＝（cosα，﹣1），其中α∈（0，），且． （1）求sin2α和cos2α的值； （2）若sin（α﹣β）＝，且β∈（0，），求角β． 43．已知α，β为锐角，cosα＝，tan（α﹣β）＝﹣，求cosβ的值． 44．在△ABC中，cosA＝﹣，cosB＝． （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）设BC＝5，求△ABC的面积． 45．解方程cos2x＝cosx+sinx，求x的值． 46．证明三角恒等式． 47．在①ab＝，②asinA＝，③a+c＝1+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求c的值及△ABC的面积． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＝c（2﹣cosB），sinA＝sinC，_____． 48．已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣，求sin2α的值． 49．已知sinA+sin3A+sin5A＝a，cosA+cos3A+cos5A＝b．求证： （1）当b≠0时，tan3A＝． （2）（1+2cos2A）2＝a2+b2． 50．在①，②sinB+sinC＝2sinA，③bc＝10这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在△ABC它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝3，____？ 精选易错题练习—【第八章】三角恒等变换 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】B 【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值． 【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sinαcosα＝2cos2α， ∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0， ∴cosα＝2sinα， ∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1， ∴解得：sinα＝． 故选：B． 2．【答案】A 【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值． 【解答】解：由tan2α＝，得， 即， ∵α∈（0，），∴cosα≠0， 则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝， 则cosα＝＝， ∴tanα＝． 故选：A． 3．【答案】A 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后结合正弦函数的性质求解． 【解答】解：y＝cos2x+sinxcosx ＝ ＝＝． 由2x+＝，k∈Z，得x＝，k∈Z． ∴函数y＝cos2x+sinxcosx图像的对称轴是x＝+（k∈Z）． 故选：A． 4．【答案】C 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosα、tanα的值，可得tan（﹣α）＝的值． 【解答】解：∵α∈（0，π），且sinα＝，∴cosα＝±， 若 cosα＝，则tanα＝＝，tan（﹣α）＝＝﹣， 若 cosα＝﹣，则tanα＝＝﹣，tan（﹣α）＝＝﹣7， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】由已知可得tanα＝3tanβ，结合两角差的正切公式＝＝，利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由sinαcosβ＝3sinβcosα可得tanα＝3tanβ， ∵α，β， 所以＝＝＝， 当且仅当3tan即tan，tan时取等号，此时α﹣β取得最大值． 故选：B． 6．【答案】A 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得tan2α的值． 【解答】解：∵sin（﹣α）＝＝cosα，α∈（0，）， ∴sinα＝＝，tanα＝＝， 则tan2α＝＝﹣， 故选：A． 7．【答案】C 【分析】由题意利用两角和差的三角公式花简f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得实数a的取值范围． 【解答】解：若＝2cos（x+） 在[﹣a，a]上是减函数，∴a＞0． 且﹣a+≥0，a+≤π， 综合可得，0＜a≤，故实数a的取值范围为（0，]， 故选：C． 8．【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的对称性列出关于ω的等式，求出ω的最小值，再利用正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣）的图象关于直线x＝对称， 则有ω﹣＝kπ+，k∈Z，解得ω＝3k+，k∈Z， 因为ω＞0，所以ω的最小值为，可得f（x）＝2sin（x﹣）， 因为x∈[0，]，可得x﹣∈[﹣，]，可得f（x）＝2sin（x﹣）∈（﹣，2]， 故f（x）在[0，]的最小值为． 故选：A． 9．【答案】D 【分析】推导出λ＝＝＝，利用三角函数恒等变换能求出λ的值． 【解答】解：∵tan20°+λcos70°＝3， ∴λ＝＝＝ ＝＝＝4． 故选：D． 10．【答案】D 【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解． 【解答】解：由＝， 可得＝＝， 所以cos（﹣2α）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×＝． 故选：D． 11．【答案】B 【分析】结合和差角公式，利用恒等变换进行计算即可． 【解答】解：由于， 而cos（α+β）sinβ＝， 所以， 因此． 故选：B． 12．【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系求出sinα，再利用二倍角公式求解即可． 【解答】解：因为0＜α＜，cosα＝， 所以， 则． 故选：C． 13．【答案】C 【分析】由＝2，化弦为切求出tanθ＝3，再由同角三角函数求出＝sin2θ+sinθcosθ＝，化弦为切能求出结果． 【解答】解：∵＝2，∴＝2， 解得tanθ＝3， ∴＝ ＝sinθ（sinθ+cosθ） ＝sin2θ+sinθcosθ ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：C． 14．【答案】C 【分析】由三角函数的定义知tanα＝﹣2，再结合二倍角公式和诱导公式，可将所求式子化为cos2α，然后根据“同除余弦可化切”的思想，并结合二倍角公式，即可得解． 【解答】解：由题意知，tanα＝﹣2， ∴＝﹣sin（α﹣）cos（α﹣）＝﹣sin（2α﹣）＝cos2α ＝•＝•＝•＝﹣． 故选：C． 15．【答案】C 【分析】由已知分别展开两角和的正弦及二倍角的余弦，进一步联立方程组求解sinα． 【解答】解：∵sin（α+）＝，∴sinαcos+cosαsin＝， 即，则sin，① 又cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝﹣， ∴cos，② 由①﹣②得，2sin，即sinα＝． 故选：C． 16．【答案】B 【分析】由则sin（2）＝﹣cos（2α﹣+），利用二倍角公式可得结果． 【解答】解：∵cos（）＝，则sin（2）＝﹣cos（2α﹣+）＝﹣cos（2α+）＝1﹣2＝1﹣2×＝， 故选：B． 17．【答案】C 【分析】利用两角和与差的三角函数化简，利用诱导公式求解即可． 【解答】解：， 可得cosα++sinα＝ cosα+sinα＝ 可得， ＝． sin（）＝ 则＝﹣sin（）＝﹣． 故选：C． 18．【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理可求c＝a，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【解答】解：∵， ∴，则sinC＝（sinBcosC+cosBsinC）＝sin（B+C）＝sinA， ∴c＝a， ∵b＝2，△ABC的面积＝＝， ∴a＝2时，△ABC的面积S的最大值为． 故选：C． 19．【答案】D 【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin（α+）的值，从而利用sinα＝sin[（α+）﹣]，可求sinα，cosα，即可得解tanα的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值． 【解答】解：∵a为锐角，且cos（α+）＝，α+∈（，）， ∴sin（α+）＝， ∴sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝，cosα＝＝ ∴tanα＝＝， ∴tan2α＝＝＝． 故选：D． 20．【答案】C 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用及三角函数的方程的应用求出结果． 【解答】解：方程sin（2x+）＝cos（+x），根据三角函数的诱导公式的应用， 整理得cos2x＝sinx，即1﹣2sin2x﹣sinx＝0， 整理得（2sinx﹣1）（sinx+1）＝0 即或sinx＝﹣1 由于x∈（﹣，）， 所以：x＝． 故选：C． 21．【答案】B 【分析】利用诱导公式、平方差公式、同角三角函数基本关系式和二倍角公式直接求解． 【解答】解：sin415°﹣sin475°＝sin415°﹣sin4（90°﹣15°）＝sin415°﹣cos415° ＝． 故选：B． 22．【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得A的坐标，根据B的坐标求得cos（+α）和sin（+α）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosα＝cos[（+α）﹣]的值． 【解答】解：∵点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点， ∴A（cos，sin），即A（，），且cos（+α）＝﹣，sin（+α）＝． 则cosα＝cos[（+α）﹣]＝cos（+α）cos+sin（+α）sin＝﹣+＝， 故选：A． 23．【答案】B 【分析】由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论． 【解答】解：∵函数f（x）＝cos（﹣x）cos（+x）﹣cos2x+＝cos（﹣x）sin（﹣x）﹣•+ ＝sin（﹣2x）﹣cos2x＝•cos2x﹣•（﹣）sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）， 则f（x）的最小正周期为＝π，最大值为， 故选：B． 24．【答案】C 【分析】根据题意，利用两角和差的正切公式求出tanx，再根据两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得出答案． 【解答】解：因为， 所以，解得， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，． 故选：C． 25．【答案】C 【分析】先根据为函数的对称轴求出a；再根据f（x1）+f（x2）＝0求出x1+x2进而求得结论． 【解答】解：因为为函数的图象的一条对称轴， ∴f（﹣）＝asin（﹣）﹣cos（﹣）＝﹣a﹣＝±； ∴a2+a+＝a2+3⇒a2﹣2a+1＝0⇒a＝1； ∴f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣）； ∵f（x1）+f（x2）＝0，且f（x）在（x1，x2）单调， 故x1，x2的中间值对应为对称中心； ∴（x1﹣+x2﹣）＝kπ⇒x1+x2＝+2kπ，k∈Z； ∴f（x1+x2）＝2sin（+2kπ﹣）＝2sin＝． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】． 【分析】由二倍角公式，结合两角和与差的三角函数求解． 【解答】解：已知， 则， 则（2tanθ+1）（tanθ﹣3）＝0， 又tanθ＞0， 则tanθ＝3， 则＝＝＝＝． 故答案为：． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x＝θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ＝，与sin2θ+cos2θ＝1联立即可求出cosθ的值． 【解答】解：方法一：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（sinx﹣cosx）＝sin（x﹣α）（其中cosα＝，sinα＝）， ∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值， ∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ＝， 又sin2θ+cos2θ＝1， 联立得（2cosθ+）2+cos2θ＝1，解得cosθ＝﹣． 方法二：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（其中tanφ＝﹣2，φ∈（﹣））， 因为当x＝θ时，f（x）取得最大值，所以θ+φ＝， 所以θ＝， 所以cosθ＝cos（）＝sinφ＝﹣． 方法三：由（sinx﹣2cosx）2≤（12+（﹣2）2）（sin2x+cos2x）＝5， 可得﹣≤sinx﹣2cosx≤， 则f（x）＝sinx﹣2cosx的最大值为， 此时sinθ﹣2cosθ＝，又cosθ＝﹣2sinθ， 解得cosθ＝﹣． 故答案为：﹣． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知等式的左边，得到关于tanθ的方程，求出方程的解得到tanθ的值，然后将所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2θ+cos2θ，分子分母同时除以cos2θ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanθ的值代入即可求出值． 【解答】解：tan（θ+）＝＝2 即tanθ+1＝2﹣2tanθ， ∴tanθ＝ 则sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝ 故答案为： 29．【答案】见试题解答内容 【分析】将已知关系式中的10°转化为40°﹣30°，再利用两角差的正弦与余弦分别展开，计算即可． 【解答】解：原式＝＝＝＝． 故答案为：． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 +cos4x，由此求得函数的最小正周期． 【解答】解：∵函数y＝sin6x+cos6x＝（sin2x+cos2x ）（sin4x﹣sin2x•cos2x+sin4x）＝1×[（sin2x+cos2x）2﹣3sin2x•cos2x] ＝1﹣sin22x＝1﹣×＝+cos4x， 故函数的最小正周期为T＝＝， 故答案为：． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，就可求出式子的值 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝4 故答案为4 32．【答案】见试题解答内容 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为 2﹣1，运算求得结果． 【解答】解：∵， ∴sin2α＝﹣cos（2α+）＝﹣cos2（α+）＝2﹣1＝﹣， 故答案为﹣． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】根据两角和的余弦公式以及辅助角公式将条件进行化简，利用三角函数的诱导公式即可得到结论． 【解答】解：∵cos（）﹣sinα＝ ＝＝， ∴， ∵sin（）＝sin（）＝， ∴sin（）＝， 故答案为： 34．【答案】见试题解答内容 【分析】解法1：将已知条件利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得到sinxcosx的值，所求的式子sin2x利用二倍角的三角函数公式化简后等于2sinxcosx，将sinxcosx的值代入即可求出值； 解法2：利用诱导公式cos（+2x）＝﹣sin2x得到sin2x＝﹣cos2（x+），然后利用二倍角的余弦函数公式化简为关于sin（x+）的关系式，将已知条件代入即可求出值． 【解答】解：解法1：由题中的条件得（sinx+cosx）＝﹣， 两边平方得（1+2sinxcosx）＝， 解得sinxcosx＝ 则sin2x＝2sinxcosx＝2×＝； 解法2：sin2x＝﹣cos2（x+）＝﹣[1﹣2sin2（x+）]＝． 故答案为： 35．【答案】见试题解答内容 【分析】设sinAsinB＝x，显然x＞0，由已知可得cos（A﹣B）＝+x，结合cos（A﹣B）∈[﹣1，1]，即可得解sinAsinB 的最大值． 【解答】解：∵cosAcosB＝，设sinAsinB＝x，显然x＞0， ∴cosAcosB+sinAsinB＝+x，即cos（A﹣B）＝+x， 又∵cos（A﹣B）∈[﹣1，1]， ∴0＜x≤． ∴sinAsinB 的最大值为：． 故答案为：． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）＝sin（2x+）+，由，可得：2x+∈（，），利用正弦函数的性质可求f（x）单调递增区间． 【解答】解：f（x）＝cos2x+sinxcosx ＝+sin2x ＝sin（2x+）+， ∵，可得：2x+∈（，）， ∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈或时，f（x）单调递增． ∴f（x）的单调递增区间为（或）． 故答案为：（或）． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值． 【解答】解：原式＝＝＝＝﹣4． 故答案为：﹣4． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】由，可得：＜π，＝﹣．利用cosα＝，展开即可得出． 【解答】解：∵，∴＜π， ∴＝﹣＝﹣． ∴cosα＝＝+ ＝+ ＝． 故答案为：﹣． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，）， ∵cos（α+）＝， ∴sin（α+）＝＝， 则sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝． 故答案为： 40．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意画出图象以及过球心的截面圆，由球和正三棱锥的几何特征可得：两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，再求出涉及的线段的长度，根据两角和的正切函数和正切函数的定义求出tan（α+β）的值． 【解答】解：由题意画出图象如下图： 由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形， 所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC， 故∠SDA＝α，∠MDA＝β． 设SM∩平面ABC＝P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM＝2R，AB＝a， ∴， 因此 ＝， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由三角函数的定义有，x1＝cosα，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解． （2）由图可知S1＝cosαsinα，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（α）＝sin（2α﹣θ），其中，，，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值． 【解答】（理）解：（1）由三角函数的定义有，x1＝cosα， 因为， 所以， 所以， 即． （2）由图可知S1＝cosαsinα，， 所以， 化简得＝＝， 其中，，． 因为， 所以， 从而， 由上可知，， 所以，当时，． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由已知结合可得sinα＝2cosα，与sin2α+cos2α＝1联立即可求得sinα，cosα的值，再由二倍角的公式求得sin2α和cos2α的值； （2）由已知可得α﹣β的范围，并求得cos（α﹣β）＝，再由sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]，展开两角差的正弦得答案． 【解答】解：（1）∵＝（2，sinα），＝（cosα，﹣1），且， ∴2cosα﹣sinα＝0，即sinα＝2cosα． 代入sin2α+cos2α＝1，得5cos2α＝1， ∵α∈（0，）， ∴cos，则sinα＝． 则sin2α＝2sinαcosα＝， cos2α＝； （2）∵α∈（0，），β∈（0，），∴α﹣β∈（）． 又sin（α﹣β）＝，∴cos（α﹣β）＝． ∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β） ＝． ∵β∈（0，），∴β＝． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由cosβ＝即可求得答案． 【解答】解：∵α为锐角，cosα＝， ∴sinα＝＝， ∴tanα＝＝． ∵tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]＝＝＝， 又β是锐角， ∴cosβ＝＝＝． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，进而根据sinC＝sin（A+B）利用正弦的两角和公式求得答案． （Ⅱ）先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积． 【解答】解：（Ⅰ） ∵在△ABC中，A+B+C＝180°，sinC＝sin（180﹣（A+B））＝sin（A+B） 由，得， 由，得． 所以． （Ⅱ）由正弦定理得． 所以△ABC的面积S＝BC•AC•sinC＝×5××＝． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解． 【解答】解：∵cos2x＝cosx+sinx， ∴cos2x﹣sin2x＝cosx+sinx， ∴（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣（cosx+sinx）＝0， ∴（cosx+sinx）（cosx﹣sinx﹣1）＝0． 如果cosx+sinx＝0，则得1+tgx＝0，tgx＝﹣1， 解 如果cosx﹣sinx﹣1＝0则得cosx﹣sinx＝1， ∴，∴， ∴，∴． 综上，x＝． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可． 【解答】证明：左边＝2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx ＝2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx ＝2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx ＝2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx ＝2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx ＝2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x ＝（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x ＝2sin2x+cos2x+3cos2x ＝2+2cos2x＝2（1+cos2x）＝右边 47．【答案】c＝1，S△ABC＝． 【分析】由bsinC＝c（2﹣cosB），利用正弦定理可求得B，由sinA＝sinC＝sin（A+），利用两角和的正弦公式可求得A，从而可求得b＝c，根据所选条件，利用正弦定理可求得c，由三角形面积公式可求得△ABC的面积． 【解答】解：因为bsinC＝c（2﹣cosB）， 由正弦定理可得 sinBsinC＝sinC（2﹣cosB）， 因为sinC≠0，所以sinB＝2﹣cosB， 即sinB+cosB＝2，sin（B+）＝1， 因为0＜B＜π，所以＜B+＜， 所以B+＝，所以B＝， 因为sinA＝sinC＝sin（A+）＝（sinA+cosA）， 整理得sinA＝﹣cosA，所以tanA＝﹣， 因为0＜A＜，所以A＝， 所以C＝π﹣﹣＝，所以B＝C，b＝c， 若选条件①，因为ab＝，sinA＝sinC，所以a＝c， 所以bc＝1，而b＝c，所以b＝c＝1， S△ABC＝bcsinA＝． 若选条件②，因为asinA＝，所以a＝， 由正弦定理＝＝，可得b＝c＝1， S△ABC＝bcsinA＝． 若选条件③，因为a+c＝1+，sinA＝sinC，所以a＝c， 所以a+c＝c+c＝1+，解得c＝1， 所以b＝c＝1， 所以S△ABC＝bcsinA＝． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得以sin（α﹣β）和cos（α+β）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin 2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]的值． 【解答】解：∵已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣， ∴π＜α+β＜，0＜α﹣β＜． ∴sin（α﹣β）＝＝，cos（α+β）＝﹣＝﹣， 则sin 2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β） ＝﹣×+（﹣）×＝﹣． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明． （2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论． 【解答】证明：（1）sinA+sin3A+sin5A＝sinA+sin5A+sin3A ＝2sincos+sin3A ＝2sin3A•cos2A+sin3A＝sin3A（1+2cos2A）， ∴sin3A（1+2cos2A）＝a ① 同理有cos3A（1+2cos2A）＝b ② 两式相除，即得tan3A＝ （2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）＝a，① cos3A（1+2cos2A）＝b，② ∴①2+②2 sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2＝a2+b2， ∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）＝a2+b2， ∴（1+2cos2A）2＝a2+b2． 50．【答案】方案一：选条件①．． 方案二：选条件②．． 方案三：选条件③．问题中的三角形不存在． 【分析】方案一：选条件①．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值，根据正弦定理解得，可求B，利用三角形内角和定理可求，利用三角形的面积公式即可求解； 方案二：选条件②．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值，利用正弦定理化简已知等式可得b+c＝6，由余弦定理进而可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可得解； 方案三：选条件③．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值，由余弦定理整理得b4﹣19b2+100＝0，可得Δ＜0，可得选条件③时问题中的三角形不存在． 【解答】解：方案一：选条件①． 因为，所以， 由正弦定理可得， 又A+B+C＝π，所以＝， 因为sinC≠0， 所以，即， 因为，所以， 又A∈（0，π），故，即． 因为， 所以由正弦定理，得，解得， 因为b＜a，所以，所以． 所以△ABC的面积． 方案二：选条件②． 因为，所以， 由正弦定理可得， 又A+B+C＝π，所以＝， 因为sinC≠0，所以，即， 因为，所以， 又A∈（0，π），故，即． 因为sinB+sinC＝2sinA，所以由正弦定理得b+c＝6， 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣bc＝9， 联立得化简得解得b＝c＝3， 所以△ABC的面积． 方案三：选条件③． 因为，所以， 由正弦定理可得， 又A+B+C＝π，所以＝， 因为sinC≠0，所以，即， 因为，所以， 又A∈（0，π），故，即． 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣bc＝9， 联立得消去c， 并整理得b4﹣19b2+100＝0， 此时Δ＝（﹣19）2﹣4×100＝﹣39＜0，故方程无实数根， 所以选条件③时问题中的三角形不存在． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 14:59:39；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$