专题8.2.1 两角和与差的余弦&8.2.2 两角和与差的正弦、正切（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题8.2.1 两角和与差的余弦&8.2.2 两角和与差的正弦、正切 教学目标 1．熟记两角和与差的正弦、余弦、正切核心公式，清晰掌握各公式的结构特征与书写形式 2．理解公式中角的取值要求，明确正切公式的适用范围，能规范进行公式的正向计算 3．掌握公式逆用、变形用的基本方法，能识别题型特征并灵活运用公式解决简单计算问题 4．区分三角公式运算与代数分配律的差异，规避公式使用中的基础错误，形成规范的解题意识 教学重难点 重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的准确记忆与正向灵活运用 公式逆用、变形用的特征识别，以及简单三角求值问题的解法应用 难点：正切公式适用条件的精准判断，结合角的范围合理选用公式 根据已知角与目标角的关系，灵活选择公式逆用或变形解决求值问题 知识点01 两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：:________ 2．两角差的余弦公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如________ 【即学即练】 1．（   ） A． B． C． D． 2．求值：____________． 知识点02 两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：:________ 2．两角差的正弦公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如________ 【即学即练】 3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．＝_______. 知识点03 两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：:________ 2．两角差的正切公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形：； 【即学即练】 5．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．的值为（   ） A． B． C．1 D． 题型01两角和差余弦公式正用 【例1】（    ） A． B． C． D． 【例2】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则________． 【变式1-1】在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式1-3】设，，则______. 题型02两角和与差余弦公式逆用 【例3】（   ） A． B． C． D． 【例4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，已知，，则（    ） A．-2025 B．-2024 C．2024 D．2025 【变式2-2】已知，若函数为偶函数，则______. 【变式2-3】化简：=___________. 题型03两角和与差正弦公式正用 【例5】已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】________． 【变式3-2】（多选）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点A的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为__________. 题型04两角和与差余弦公式逆用 【例7】的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】（多选）已知向量，则（   ） A．若，则 B． C． D． 【变式4-1】（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式4-3】已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型05两角和与差正切公式正用 【例9】在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则______． 【例10】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】求值______． 【变式5-2】已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式5-3】在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合.已知是终边上异于原点的一点，将的终边按逆时针旋转到，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06两角和与差正切公式逆用 【例11】化简： (1)； (2)． 【例12】已知是方程的两个实根，则（　　） A． B． C．4 D． 【变式6-1】若，则________. 【变式6-2】___________． 【变式6-3】已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 题型07给值求值问题 【例13】已知锐角，满足，，则___________． 【例14】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若、为锐角，，，则角______． 先根据已知角范围，求其配套三角值（如知sinα求cosα）；再将目标角拆为已知角的和差，套公式计算。 题型08给值求角问题 【例15】设且则（    ） A． B． C． D． 【例16】（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 【变式8-1】若，，并且，，且，则的值为______. 【变式8-2】已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 【变式8-3】已知，，，，则的值为_____________． 先求目标角的某一三角值，再根据已知角范围确定目标角的取值范围；最后结合三角值定唯一角（优先选余弦，范围易判断）。 题型09综合化简问题 【例17】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例18】（多选）已知，且，，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，，，则_____. 【变式9-2】已知的三个内角满足，则________． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若，，求的值． 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．计算的值为（   ）． A． B． C． D． 3．（   ） A． B．1 C． D． 4．已知，是第一象限角，，求（    ） A． B． C． D．1 5．将点绕着原点逆时针旋转到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，则__________. 10．如图，在正方形网格的格点上，则___________． 11．函数（）的部分图像如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 四、解答题 12．已知，其中． (1)求的值； (2)求的值； 13．已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 14．（1）已知，是第三象限角，求的值． （2）已知是锐角，，，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题8.2.1两角和与差的余弦&8.2.2 两角和与差的正弦、正切 内容概览 教学目标、教学重难点 两角和与差的余弦公式 知识清单 两角和与差的正弦公式 两角和与差的正切公式 两角和差余弦公式正用 两角和与差余弦公式逆用 向量数量积 两角和与差正弦公式正用 的坐标运算 两角和与差余弦公式逆用 题型精讲 两角和与差正切公式正用 两角和与差正切公式逆用 给值求值问题 给值求角问题 综合化简问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切核心公式，清晰掌握各公式的结构特征与书写 形式 2.理解公式中角的取值要求，明确正切公式的适用范围，能规范进行公式的正向计算 教学目标 3.掌握公式逆用、变形用的基本方法，能识别题型特征并灵活运用公式解决简单计算 问题 4.区分三角公式运算与代数分配律的差异，规避公式使用中的基础错误，形成规范的 解题意识 重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的准确记忆与正向灵活运用 教学重难点 公式逆用、变形用的特征识别，以及简单三角求值问题的解法应用 1129 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 难点：正切公式适用条件的精准判断，结合角的范围合理选用公式 根据已知角与目标角的关系，灵活选择公式逆用或变形解决求值问题 知识清单 知识点01两角和与差的余弦公式 1.两角和的余弦公式：Ca+cos(a+B)=cosa cos B--sin asin B 2.两角差的余弦公式：Ca-p)cos(a-B)=cosa cosB+sin a sinB 3.使用注意事项： (1)公式中，B都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； (2)需掌握公式的逆用，如cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos[(a+B)-B]=coso 【即学即练】 1.cos15°=() A.2-V6 B.2-v6 C.2+6 D.2+v6 2 4 4 2 【答案】C 【详解】因为c0s15=c0s(45”-309=c0s45c0:30°+sim455n30-2x5,2x1-反+6 一X -X- 222“24 故选：C 2.求值：cosl05°cosl5°+sin105°sinl5°= 【答案】0 【详解】原式=cos105°-15）=cos90°=0. 故答案为：0 知识点02两角和与差的正弦公式 1.两角和的正弦公式：Sa+)sin(a+B)=sin a cosB+cosa sinB 2.两角差的正弦公式：Sa-)sina-B)=sin a cosB-cosa sin B 3.使用注意事项： (1)公式中的a,B都是任意角： (2)注意公式的逆向运用：如sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB=sinl[(a+B)-]=sina 【即学即练】 2/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .已知角u的顶点与原点里合，始边与x轴非负半锥重合，角a的终边经过点6，利，则sn。-的值是 () A.4V3-3 B. 8-5v3 C.4-35 D.4+3V5 10 10 10 10 【答案】C 4 4 3 3 【详解】由三角函数定义得sina= V32+425,cosa V32+425' 所以sina- sina cos -cosasinx4313 3525210 故选：C 4.sin110°cos40°-cos70°sin140°= 【答案】205 【详解】sin110°cos40°-cos70°sin140° =sin(180°-70）c0s40°-c0s70°sin(180°-40） =sin70°c0s40°-c0s70°sin40° =sin(70°-40）=sin30°= Γ2 故答案为：号 知识点03两角和与差的正切公式 1.两角和的正切公式：Ta+Btan(a+B)=ana+tanB 1-tana tan B 2.两角差的正切公式：Ta-tan(a-B)= tana-tan B +tang tan阝 3.使用注意事项： (1)Ta±B公式的适用前提是tana±B)、tano、tanB均有意义： (2)Ta±B公式的变形：tana+tanB=tan(a+B)l-tan&tan B),tano-tanB=tan(a-B)l+tan o tan B); 【即学即练】 5,已期a0引，且aa子则ama-引的值等于() A B.4 1 C.-1 D.7 【答案】A 3/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 tana-tan 3 -1 44 1 【详解】tan -4 1+tana tan 1+ 4 4 故选：A 1+tan15 6. 的值为() 1-tan15 A.3 B.5 C.1 D.-V5 3 【答案】B 【详解】1+an15°=tan45o+tan150 =tan(45°+15)=tan60°=√3 1-tanl5°1-tan45°tanl5o 故选：B 题型精讲 题型01两角和差余弦公式正用 【例1】c0s57=（) 12 4. v6-V2 B. V6+√2 c.3+2 D.2-V6 4 4 4 4 【答案】A 【分11解：w各食引9号6：酒 故选：A 【例2】在平面直角坐标系x0y中，角a与角B均以0x为始边，它们的终边关于y轴对称.若sina= 1 则cos(a-)=】 【答案】-了0875 8 【分析】详解】由sna-号得a是第一或第二象限角。 若a是第一限角，则cosa=V-sin'a= 4 因为α与B的终边关于y轴对称，所以B是第二象限角， sin B sina =.cosB =-cosa --V15 1 41 4/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以cos(a-B)=coscB+sinasinB=-15+⊥_-7 1616-8 若a是第二限角，则cosa=-V-in'a- 4 因为α与B的终边关于y轴对称，所以B是第一象限角， sin B=sina=cos B=-cosa-V15 4, 所以cos(a-B)=-cosacB+sina sin B=-l5+是-7 16168 故谷案为日 【变式1-1】在4BC中，cosA=3 ’cosB=5 =3,则cos(A+B)的值为() A.33 33 65 B65 C.63 63 D. 65 65 【答案】A 【分析】详解：在ABC中，cosA=之>0，c0s8J 0,0<4<分0<B<号 13 94 2512 小m4=-co4-l-3行sm8=-cosB-小-9号 354.1233 ∴.cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=-× 51351365 故选：A 【变式1-2】已知a∈0， ）,osa=5,则osa π 的值为() 4 A.30 10 B. 2V/5 D.3i0或-i0 5 10 10 10 【答案】C 【分所】详解】由于ae0引cosa= ,故sina=V1-cos2a= 2V5 cos+ )-cosa cos-sina sin255o 4 4 “4525210 故选：C 【变式13】设sma-血B令asa+om月=克则oa+到- 【信米】羽 【分折】学解】解：因为Sa-血B-写a+osB分 5/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1 sin'a-2sina sin B+sincos+2ccB 1,1 所以2+2(cos a cos B-sina sinβ)= 59 所以csa+三)x(日+42) 72 故答案为：一 9 2 【点晴】此题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题 题型02两角和与差余弦公式逆用 【例3】cos83°cos23°+sin83°sin23°=() B.3 C. √2 D. 2 2 【答案】C 【分析】详解】c0s83°c0s23°+sin83°sin23°=c0s83°-23)=c0s60°=} 故选：C 【例4】已知cos(a-B)=m,tan a tan B=3,则cos(a+β)=() A B c D._m 2 【答案】D 【分析】详解】cosa-B)=coaco+sinasin B=m,,tanc tan B=sina sin-3, cosa cosβ 解得cosa cos ,sina sin= 4 所以cos(a+B)=B--sinasin B=m_3m=-m Γ442 故选：D 【变式2-1】在ABC中，已知sinA=2024 sin B sin C,cosA=2024 cos B cosC,则tanA=() A.-2025 B.-2024 C.2024 D.2025 【答案】D 【分析】详解】两式作差得， cos 4-sin 4 =2024 cos B cos C-2024 sin B sin C 2024 cos(B+C)=-2024 cos A, 所以sinA=2025cosA,即tanA=2025. 故选：D 【变式22】已知0<0<受若函数/=c0sr+0)+2sin0sin(x+0)为偶函数，则cos0= 6/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案105 【分析】详解】若函数fx=cosx+)+2sin0sinx+0)为偶函数， 则/}=f》,即-sin0+2sn9co0=n9-2sin0co:0, 解得sin0-2sin0cos0=0,0<0< 所以c0s0=号，日=π， 1 2 当0-时，=cox+引5mr+》2o+子}-2cosx是偶希数，满足题意 故答案为：2 【变式2-3】化简：sin(π+20)cos +0s-29sm经- 2 【答案】cos0 【分析】详解】 sino()sininin)cin0in+co0 co00) 故答案为：cos0 题型3两角和与差正弦公式正用 【例5】已知a,B知都是锐角，且sina=4 3,则sin(a+B)的值为() 5 ’sinB= A.16 B. 33 C.56 63 5 65 65 D.65 【答案】D 【分折】详解】因为a,B都是经角，则osa=-ma-号o明=一m币 13 412,3563 则sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ=-× 51351365 故选D 【例6】已知角O的终边上一点P-1,5),则sm0+() A.3 B.-3 2 2 C. D月 【答案】C 【分析】详解】由角O的终边上一点P-1,V3, 7/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则sin6= 5 -1 1 c0s0= V-+(i 2 V-+( 2 6 6 故选：C 【变式3-1】sin435°- 【答案】 V6+2 【分析】详解】sin435°=sim360+75）=sin75°=sim(45+30)=sin45°cos30+cos45sin30 -2x5,2x56+5 2222 4 故答案为：6+V2 4 【变式3-2】（多选）在ABC中，c0s4= ,sinB=12 则sinC=() 13 号 33 C. 56 63 B. D. 6 65 65 【答案】AC 【分折】辩解】已知os4-号且4e0,由s如4+cos4-1,有：如4--o看--目-号 己知sinB= ,且B∈(0，m),由sin2B+cos2B=1,得：cosB=士-sin2B- 12 由sinA=4 <sinB=12 ,根据三角形“大边对大角性质，可知A<B,因此B可为锐角或钝角，两种情况均 满足三角形内角和条件， 由sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,分两种情况讨论： 当B为锐角，即c0sB=5时：simC=45+3.12_20+36_56 13 5135136565 当8角：甲w8言：mC-》吕-20话6-9 故选：AC 【变式33】已知点A的坐标为3,4)，将0A绕坐标原点0顺时针旋转至0A',则点A的坐标为 【答案】 7W22 【分析】详解】因为点A的坐标为(3,4)，所以OA与x轴正半轴的夹角α满足 8/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 3 3 sina = V52+4年5，c0sa= V32+425 那么将OA绕坐标原点0顺时针旋转至0,0？与x轴正半轴的夹角为α-4 4 而sino- 4 =sina cos-cosa sin4x232 4 "4525210 cos a-- 4 -cosa cos+sina sin7 4525210 所以点A的坐标为 故答案为： 72√2 2’2 题型04两角和与差余弦公式逆用 【例7】sin45°cosl5°+cos225°sin15°的值为() A.月 B.1 2 【答案】A 【详解】sin45°c0s15°+cos225°sinl5°=sin45°cosl5°+cos180°+45)sin15° =sin45°cos15°-cos45°sin15°=sin(45°-159)=sin30°= 【例8】（多选）已知向量i=(cosa,-sina),i=(cosB,sinB),则() A.若m/n,则a+B=2kπ(keZ B.m2+72=2 C.mi=cosa+β) D.m+n≤2 【答案】BCD 【分析】详解】对于A,由m/n,可得cosa◆sinB-(-sina)cosB=sina+B)=0,则a+B=kπ(k∈Z), 故A错误； 对于B,故m2+i2=cos2a+sin2a+(cos2B+sin2B)=1+1=2,故B正确； 对于C,m·i=(cosa,-sina)(cosB,sinβ)=cosa cosB-sina sin B=cosa+β)，故C正确： 对于D,(m+)=m++2mi=2+2cos(a+β)≤4， 当且仅当cosa+B）=1,即a+B=2km,k∈Z时，等号成立，故m+n≤2，故D正确 故选：BCD 【变式4-1】sin80°cos(-20)+cos70°cos100°=() 9/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.- √3 2 C. D.3 2 【答案】D 【分析】详解】sin80°c0s(-20)+c0s70°cos100°=sin80°cos20°+cos90°-20)cos180°-80 =sim80°cos20°-sim20c0s80°=sin80°-209=sin60°=5 故选：D 【变式4-2】函数f(x=sinx+2p)-2 sino cos(x+p的最大值为() A.1 B.√2 C.2 D.3 【答案】A 【分析】详解】因f(x=sin(x+2o)-2 sino cos(x+o =sin[+(x+)]-2sin cos(x+) sino cos(x+o)+coso sin(x+o)-2sino cos(x+) sin(x+o]coso-cos(x+sin =sin[(x+p)-p]=sinx,故其最大值为l. 故选：A 【变式43】已知sna-B)cou--cosB-a]sina；}B是第三象限角，则sn（B+买 的值为() A.② B.7V2 D.-72 10 10 10 10 【答案】B 【分析】详解】sina-B)cosa--cosB-a)3sina=sin[a-p)-a]=simB} smB-,又B是第三象限角，c00、 5 故选：B 题型05两角和与差正切公式正用 【例9】在平面直角坐标系x0y中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以0为圆心）交于 点P则ama+一· 【答案1-月 10/29