第八章 向量的数量积-高中数学必修第三册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第八章】向量的数量积 一．选择题（共25小题） 1．已知圆x2+y2＝9，P为圆外一点，过P引圆的切线，两切点分别为A和B，若＝9，则cos∠APB＝（　　） A．2﹣ B． C． D． 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（　　） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 3．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（　　） A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5] 4．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，若曲线y＝k|x﹣1|+2上存在四个点Pi（i＝1，2，3，4），过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．设向量＝（2，0），＝（0，3），若向量满足（2﹣）⊥（+），则||的取值范围是（　　） A．[0，5] B．[1，5] C．[1，6] D．[2，6] 6．△ABC的外心为O，AB＝3，AC＝4，则等于（　　） A． B． C．3 D． 7．已知向量为单位向量，向量满足||＝2||，则（2+）•（﹣3）的最小值为（　　） A．15 B．0 C．﹣2 D．﹣20 8．已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；p2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；p3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；p4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（　　） A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 9．已知向量＝（1，﹣），||＝3，•＝3，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 10．已知，满足，||+||＝•＝2，|+|＝，则与夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 11．已知在△ABC中，向量＝（﹣cosA，sinA），＝（cosC，sinC），•＝cos2B，若AC＝6，且•＝﹣18，则AB+AC等于（　　） A．3 B．3 C．12 D．6 12．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，点P在直线y＝x+3上．线段AB为圆C的直径，则•的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 13．如图，在△ABC中，点D满足+2＝0，•＝0，且|+|＝2，则•＝（　　） A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣ 14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，||＝||＝||＝1，，A（1，1），则的取值范围（　　） A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣﹣，﹣+] C．[﹣，+] D．[1﹣，1+] 15．如图，在△ABC中，AD⊥AB，（x，y∈R），||＝2且，则2x+y＝（　　） A．1 B． C． D． 16．已知平面向量，，，，且．若为平面单位向量，的最大值为（　　） A． B．6 C． D．7 17．已知向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，设＝，＝，＝m﹣2，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m等于（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣11 D．10 18．已知||＝2，||＝1，与的夹角为60°，若向量满足|﹣2|＝2，则||的取值范围是（　　） A．[4﹣2，4] B．[] C．[2] D．[5﹣2] 19．如图，在正方形ABCD中，边长为，E是BC边上的一点，∠EAB＝30°，以A为圆心，AE为半径画弧交CD于点F，P是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（　　） A．[1﹣，] B．[，1﹣] C．[，] D．[，1] 20．若非零向量与向量的夹角为钝角，||＝2，且当t＝﹣时，|﹣t|取最小值．向量满足（）⊥（），则当取最大值时，||等于（　　） A． B．2 C．2 D． 21．已知正△ABC的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（　　） A． B．3 C．2 D． 22．已知正△ABC的边长为1，EF为该三角形内切圆的直径，P在△ABC的三边上运动，则的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 23．设点A（1，0），B（4，0），动点P满足2|PA|＝|PB|，设点P的轨迹为C1，圆C2：，C1与C2交于点M，N，Q为直线OC2上一点（O为坐标原点），则•＝（　　） A．4 B． C．2 D． 24．已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝2，+＝，＝λ，若•＝29，则λ＝（　　） A． B． C． D． 25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设点M，N分别是AB和BC边的中点，若，则内角B的取值范围是（　　） A．（0，] B．[，] C．[，） D．[，] 二．填空题（共15小题） 26．已知等边△ABC的外接圆O面积为36π，动点M在圆O上，若，则实数λ的取值范围为 　 　． 27．两个单位向量，满足⊥，且⊥（x+），则|2﹣（x+1）|＝　 　． 28．已知向量，满足＝（﹣，1），•（﹣）＝﹣3，向量为单位向量，则向量在向量方向上的投影为　 　． 29．如图，正三角形ABC边长为2，D是线段BC上一点，过C点作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，则|AD|•|DE|的最大值为　 　． 30．已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则•的最小值为　 　． 31．在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，若∠A＝，△ABC的面积为，则•的最小值为　 　． 32．设向量，满足：||＝1，||＝2，•（+）＝0，则与的夹角是　 　． 33．平面向量，满足：||＝1，|+2|＝﹣3，设向量，的夹角为θ，则sinθ的最大值为 　 　． 34．设向量，满足||＝3，||＝，且|﹣2|＝1，则•＝　 　． 35．平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足：＝3，＝2，则＝　 　． 36．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BC边上一点，＝3，F为线段AE的中点，则•＝　 　． 37．已知向量＝（1，1），＝（m，2），若在方向上的投影为2，则实数m的值为　 　 38．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为　 　． 39．设，为单位向量，满足|2﹣|≤，＝+，＝3+，设，的夹角为θ，则cos2θ的最小值为 　 　． 40．在等腰△ABC中，AB＝AC，|+|＝2，则△ABC面积的最大值为　 　． 三．解答题（共10小题） 41．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝12，b＝4，O为△ABC的外接圆的圆心． ①若cosA＝，求△ABC的面积S； ②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值． 42．在边长为4的正△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，且△AEF的面积等于△ABC面积的一半．求•的取值范围． 43．已知||＝5，||＝8，||＝7，++＝． （1）求向量，的夹角； （2）求|4++3|． 44．已知向量＝（cos（x﹣），cos（x﹣）），＝（sinx，m•cos（x﹣）），f（x）＝． （1）若m＝﹣1，试研究函数f（x）在[，]上的单调性； （2）当m＝2时，求函数f（x）的值域． 45．已知向量，函数的最小正周期为π． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若，求函数f（x）≥1的概率． 46．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝（a，c﹣2b），＝（cosC，cosA），且． （1）求角A的大小； （2）若b+c＝5，△ABC的面积为，求a． 47．设向量＝（4，1），＝（﹣6，7），非零向量⊥﹣，求向量，的夹角＜＞的大小． 48．已知锐角三角形△ABC中，AB＝12，cosB＝．AB边上有一点D，AD＝CD，△ABC的外接圆直径为13． （1）求•的值； （2）求线段AD的长． 49．已知函数，当时． （1）求值； （2）已知A（1，0），B（﹣1，0），若角θ终边上有一点P，满足，求OP的长度． 50．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量，，且． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积的最大值． 精选易错题练习—【第八章】向量的数量积 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】B 【分析】可设∠AOP＝∠BOP＝α，然后用，α表示出的值，化简求出α的三角函数值，进而求出cos∠APB． 【解答】解：如图：易知圆的半径OA＝3． 结合圆的切线性质，可设∠AOP＝∠BOP＝α，则OP＝，∠APB＝π﹣∠AOB＝π﹣2α． 即＝， 因为＝（）•（+）＝ ＝ ×2+9cos2α ＝＝9．令t＝cos2α∈[0，1]． 整理得：2t2﹣4t+1＝0，解得t1，2＝，取，即， 所以cos∠APB＝cos（π﹣2α）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝． 故选：B． 2．【答案】D 【分析】由题意可设，，，其中，，分别为，，方向上的单位向量，把已知向量等式变形，即可证明M在三个内角的角分线上，则答案可求． 【解答】解：由题意可设，，， 其中，，分别为，，方向上的单位向量， ∵， ∴＝， 则（a+b+c）+， ∴＝ ＝． ∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上． ∴M为△ABC的内心． 故选：D． 3．【答案】D 【分析】由数量积的几何意义知，当P在点C处时，•最小，当P在过圆心O作AB的平行线与圆弧的交点时，•最大，然后求出•的取值范围． 【解答】解：由题可知，当点P在点C处时，•最小， 此时•＝＝， 过圆心O作OP∥AB交圆弧于点P，连接AP，此时•最大， 过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F， 则•＝|AB||AF|＝|AB|（|AG|+|GF|） ＝，所以•的取值范围为[2，5]． 故选：D． 4．【答案】A 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点P的轨迹方程，再根据直线y＝k（x﹣1）+2与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求出k的值，即可得出结论． 【解答】解：如图所示， 设|PiO|＝d，∠APiO＝α，则•＝••cos2α＝（d2﹣1）（1﹣2sin2α）＝（d2﹣1）（1﹣）＝， 整理得2d4﹣9d2+4＝0，解得（不合题意，舍去）或d2＝4， 所以点P的轨迹方程为x2+y2＝4． 曲线y＝k|x﹣1|+2过点（1，2）且关于直线x＝1对称，由题可知k＜0． 当直线y＝k（x﹣1）+2与x2+y2＝4相切时，圆心O到直线的距离等于圆的半径， 所以＝2， 整理得3k2+4k＝0， 解得或k＝0， 所以k的取值范围是． 故选：A． 5．【答案】A 【分析】可设和的夹角为θ，根据即可得出，进行数量积的运算即可得出，然后即可得出的取值范围． 【解答】解：设和的夹角为θ，∵， ∴＝， ∴或， ∴的取值范围是[0，5]． 故选：A． 6．【答案】D 【分析】取AB，AC的中点E，F，则•＝•（﹣）＝2||2﹣2||2＝． 【解答】解：取AB，AC的中点E，F， 则•＝•（﹣）＝•﹣•＝2•﹣2•＝2||||cos∠OAF﹣2||||cos∠OAE ＝2||||﹣2|||| ＝2||2﹣2||2 ＝2×22﹣2×（）2＝， 故选：D． 7．【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和性质运算即可． 【解答】解：因为向量为单位向量，向量满足||＝2||，所以||＝1，²＝1，||＝2，²＝4，•＝1•2•cos＜，＞， 所以（2+）•（﹣3）＝2²﹣5•﹣3²＝2•1﹣5•2cos＜，＞﹣3•4＝﹣10﹣10cos＜，＞， 所以当cos＜，＞＝1时，（2+）•（﹣3）的最小值为﹣20， 故选：D． 8．【答案】A 【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围． 【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故p3错误，p4正确． 由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故p2错误，p1正确． 故选：A． 9．【答案】A 【分析】用向量数量积定义计算两向量夹角问题． 【解答】解：因为＝（1，﹣），||＝， 又因为||＝3，•＝3，所以cos＜，＞＝＝＝，＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝． 故选：A． 10．【答案】A 【分析】利用向量的数量积，结合向量模的运算法则，转化求解即可． 【解答】解：因为，所以． 又，所以， 所以， 故选：A． 11．【答案】D 【分析】属性由已知求出B的余弦值，然后利用余弦定理解得． 【解答】解：由已知向量＝（﹣cosA，sinA），＝（cosC，sinC），•＝﹣cosAcosC+sinAsinC＝﹣cos（A+C）＝cosB＝cos2B， 即2cos2B﹣cosB﹣1＝0，解得cosB＝﹣或cosB＝1（舍）， 因为AC＝6，且•＝﹣18，所以|BA||BC|＝36， 由余弦定理得AC2＝BA2+BC2﹣2BA•BCcosB，即（BA+BC）2＝AC2+AB•BC＝36+36＝72，所以AB+AC＝6； 故选：D． 12．【答案】B 【分析】将向量，与圆心C联系起来，利用向量的加法运算转化为向量的关系，然后可求解． 【解答】解：•＝＝ ＝， 由点P在直线y＝x+3上，点C位圆心，C（1，1）， 所以的最小值为：点C到直线的距离，， 则•＝， 故选：B． 13．【答案】A 【分析】用表示出，代入数量积公式计算即可． 【解答】解：∵+2＝，∴D是AB边上靠近B点的三等分点， ∴＝＝＝（）＝﹣． ∵||＝||＝2，∴CD＝2， ∴＝（﹣）＝﹣﹣•＝﹣＝﹣6． 故选：A． 14．【答案】B 【分析】由三角形的外心和重心的概念，可得O既是外心也为重心，则有△BCD为圆O：x2+y2＝1的内接等边三角形， 又•＝（﹣）•，由向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到所求范围． 【解答】解：由||＝||＝||＝1，可知O为外心， 由，可知O又为重心． 则有△BCD为圆O：x2+y2＝1的内接等边三角形， 即有•＝（﹣）•＝﹣ ＝||•||cos120°﹣||•||cos＜，＞ ＝﹣﹣cos＜，＞，由于0≤＜，＞≤π， 则﹣1≤cos＜，＞≤1， 即有•∈[﹣，﹣+]． 故选：B． 15．【答案】C 【分析】先将（x，y∈R）化成起点为A的向量，根据B、C、D三点共线得到第一个关于x、y的方程，再利用||＝2且化简得到关于x、y的第二个方程，联立两个方程即可求解． 【解答】解：， 所以，∵B、C、D三点共线，所以1+x+y＝1① 所以x+y＝0，所以， ∴＝ 所以， ∴＝4． 故x＝﹣，代入①得y＝，所以2x+y＝， 故选：C． 16．【答案】C 【分析】由已知求出向量、的夹角，设出，再设，然后利用向量的坐标运算求解． 【解答】解：由，，且． 得cos＝＝， ∴， 不妨设，再设， ∴＝（2，）•（cosθ，sinθ）＝ ＝，（tanα＝）． ∴的最大值为． 故选：C． 17．【答案】C 【分析】用表示出，令解出m． 【解答】解：． ＝，＝（m﹣1）﹣2， ∵AB⊥AC，∴． 即（）•[（m﹣1）﹣2]＝0， ∴（1﹣m）﹣2+（m﹣1）+2＝0， 即4（1﹣m）﹣18+3（m﹣1）+6＝0， 解得m＝﹣11． 故选：C． 18．【答案】C 【分析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断． 【解答】解：因为||＝2，||＝1，与的夹角为60°，所以²＝4，²＝1，•＝2•1•cos60°＝1， 所以满足|2+4|＝2|+2|＝2＝2＝4， 因为|||﹣|2+4||≤|﹣2|，所以|2+4|﹣|﹣2|≤||≤|2+4|+|2+4|，所以2≤||≤6， 故选：C． 19．【答案】B 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∠PAB＝θ，把转化为关于θ的三角函数可解决此题． 【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则A（0，0），B（，0），设∠PAB＝θ∈[30°，60°]， 由正方形ABCD的边长为且∠EAB＝30°得AP＝1， 设P（cosθ，sinθ），＝（cosθ，sinθ），＝（cosθ﹣，sinθ）， ∴＝cosθ（cosθ﹣）+sin2θ＝1﹣cosθ．∵θ∈[30°，60°]， ∴1﹣cosθ∈[，1﹣]． 故选：B． 20．【答案】A 【分析】＝+﹣，根据当t＝﹣时，|﹣t|取最小值．可得＝﹣，＝3，解得＝2，＝﹣2，可得＝．不妨设＝（﹣1，），＝（2，0），＝（x，y）．根据向量满足（）⊥（），可得（）•（）＝0，可得+＝3．令＝x+y＝t．当上述直线与圆相切时，可得t＝，取t＝2+2时，取最大值．直线方程与圆的方程联立解得（x，y），即可得出． 【解答】解：＝﹣+ ＝+﹣， ∵当t＝﹣时，|﹣t|取最小值． ∴＝﹣，＝3， 解得＝2，＝﹣2， ∴＝﹣2， ∴＝﹣， ∴＝． 不妨设＝（﹣1，），＝（2，0），＝（x，y）． 向量满足（）⊥（）， ∴（）•（）＝（x﹣2，y）•（x+1，） ＝（x﹣2）（x+1）+y（y﹣） ＝+﹣3＝0， ∴+＝3．（*） ＝（x，y）•（1，）＝x+y． 令t＝x+y． 当上述直线与（*）相切时，＝，解得 t＝， 取t＝2+2时，取最大值． 此时联立， 解得， ∴＝． ||＝＝． 故选：A． 21．【答案】B 【分析】设∠BAO＝θ，则∠CAx＝120°﹣θ，OA＝cosθ，求得点A，点C的坐标，进而求解，然后求解最大值． 【解答】解：设∠BAO＝θ，则∠CAx＝120°﹣θ， ∴OA＝cosθ，OB＝sinθ， ∴点A（2cosθ，0），由此可得点C（2cosθ+2cos（120°﹣θ），2sin（120°﹣θ））． 可得：＝（2cosθ+2cos（120°﹣θ），2sin（120°﹣θ））． ∴＝（2cosθ）[2cosθ+2cos（120°﹣θ）]+0×2cos（120°﹣θ） ＝2sinθcosθ+2cos2θ＝1+cos2θ+sin2θ ＝2sin（2θ+）+1， 因为0≤θ＜，所以≤2θ+＜， 所以﹣＜sin（2θ+）≤1， 则的最大值：3． 故选：B． 22．【答案】D 【分析】可以画出图形，可设内切圆的圆心为O，从而可看出点O为△ABC的重心，可求出△ABC的高为，从而得出内切圆的半径为，从而可得出，显然点P为△ABC的顶点时，最大为，从而得出的最大值． 【解答】解：如图， 设内切圆的圆心为O，则点O为正△ABC的重心，正三角形ABC的边长为1， 则高为，内切圆半径为， ∴， 当点P为△ABC的顶点时，取得最大值，所以的最大值为． 故选：D． 23．【答案】C 【分析】由已知求得P的轨迹方程，再求出O到MN所在直线的距离，得到|MN|，结合数量积的几何意义求•． 【解答】解：设P（x，y），由2|PA|＝|PB|，得， 整理得：x2+y2＝4． ∴C1：x2+y2＝4； 又圆C2：， ∴•＝＝， 联立C1与C2，得MN：． ∴O点到直线MN的距离d＝． 则|MN|＝， ∴•＝＝＝． 故选：C． 24．【答案】D 【分析】可分别以AC，DB所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出BO＝1，然后设N（x，y），从而可得出和的坐标，根据即可求出λ的值． 【解答】解：连接AC，DB，分别以AC，DB所在的直线为x，y轴，建立如图的平面直角坐标系， ∵，∴BO＝1， ∵，∴，即M为边BC的中点， 设N（x，y），则，D（0，﹣1）， ∴，，由题意知λ≠0， ∴，，∴，解得． 故选：D． 25．【答案】A 【分析】由向量的线性运算及数量积运算可得cosB＝，由余弦定理可得cosB＝，从而可得b2＝，由基本不等式可求得cosB≥，从而可求得B求得取值范围． 【解答】解：因为点M，N分别是AB和BC边的中点，， 所以•[（+）]＝•[（+）]， 即•+•＝•+•， 即•﹣•＝•﹣•， 即2•＝•（+）＝2， 所以2accosB＝b2，所以cosB＝， 在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝， 所以b2＝a2+c2﹣b2，所以b2＝， 所以cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立， 所以0＜B≤． 故选：A． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】[72，+∞）． 【分析】由平面向量的数量积运算，结合圆的性质及正弦定理求解． 【解答】解：依题意，πR2＝36π， 故R＝6， 在△ABC中由正弦定理得， 则， 取线段AC的中点N， 则， 则， 取线段BN的中点P， 则 ＝＝＝， 又， 故， 则λ≥72． 故答案为：[72，+∞）． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】两个单位向量，满足⊥，不妨设＝（1，0），＝（0，1）．利用向量垂直与数量积的关系、数量积的运算性质即可得出． 【解答】解：两个单位向量，满足⊥，不妨设＝（1，0），＝（0，1）． ∵⊥（x+），∴•（x+）＝（1，0）•（x，1）＝x＝0，解得x＝0． ∴2﹣（x+1）＝（2，﹣1）． 则|2﹣（x+1）|＝＝． 故答案为：． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】属性求出向量的模，以及向量，的数量积，根据数量积公式求投影． 【解答】解：因为＝（﹣，1）， 所以||＝2，•（﹣）＝＝﹣3，所以＝1， 向量为单位向量，则向量在向量方向上的投影为＝1； 故答案为：1． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】设＝λ （0≤λ≤1），用λ以及题目中特殊向量＝2，＝0 来表示，再求最值． 【解答】解：因为△ABC是正三角形，所以＝2×2cos60°＝2， 又因为AD⊥CE，所以＝0， 不妨设＝λ （0≤λ≤1），则＝（1﹣λ）＝（1﹣λ）（）， 所以＝•（）＝•+•＝•， 又因为＝+＝+λ＝+λ（）＝（1﹣λ）+， 所以＝[（1﹣λ）+]•[（1﹣λ）﹣（1﹣λ）]＝（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）22+﹣λ（1﹣λ） ＝﹣4λ2+6λ﹣2＝﹣4（λ﹣）2+（0≤λ≤1）， 所以当λ＝时，|AD|•|DE|取最大值． 故答案为：． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案． 【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系， ∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的点， 设E（0，y），则y∈[0，2]； 又D（2，2），C（2，0）， ∴＝（2，2﹣y），＝（2，﹣y）， ∴•＝2×2+（2﹣y）×（﹣y）＝y2﹣2y+4＝（y﹣1）2+3， 当y＝1时，•取得最小值为3． 故答案为：3． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】根据△ABC的面积求得||×||的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出•，利用基本不等式求出它的最小值． 【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝， ∴△ABC的面积为S△ABC＝||×||×sin＝， ∴||×||＝4； 又M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 则＝（+）， ＝+＝（+）+＝+， ∴•＝++• ＝++×||×||×cos ≥2×||×||+×4× ＝2××4+1 ＝+1； 当且仅当||＝||＝2时取等号， ∴•的最小值为+1． 故答案为：+1． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】设 与的夹角是θ，由•（+）＝0，利用两个向量的数量积的定义求得cosθ＝﹣，可得 θ 的值． 【解答】解：设 与的夹角是θ，则0≤θ≤π．由题意可得＝+＝1+1×2cosθ＝0， 解得cosθ＝﹣，∴θ＝120°， 故答案为120°． 33．【答案】 【分析】首先对于已知等式进行平方，然后变为关于cosθ与的关系式，从而变为一个一元二次方程进行研究． 【解答】解：∵，故， ∴cosθ≤0， 由已知有， ∴， ， ①当4﹣9cos2θ＝0时，， 此时，， ②当4﹣9cos2θ≠0时，则关于的方程有正根， 其中Δ＝52cos2θ﹣16≥0，解得， 当时，此时4﹣9cos2θ＜0， 故方程必有正根， ∵， 此时， 当时，4﹣9cos2θ＞0， 记的两根为x1，x2， 则＞0，＞0， 此时方程有两个正根， 此时， ， ∵， 所以sinθ的最大值为， 故答案为：． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】对|﹣2|＝1两边平方，解方程得出答案． 【解答】解：∵||＝1，∴﹣4+42＝1，∴9﹣4+12＝1，解得＝5． 故答案为5． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】用，表示出，，在进行计算． 【解答】解：∵＝3，＝2， ∴，，＝＝． ∴＝＝，＝＝﹣． ∴＝（）•（﹣）＝﹣＝36﹣＝9． 故答案为：9． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】取AB的中点G，连接DG，CG，利用向量相等将，分别用向量，表示，然后进行向量的乘法运算即可． 【解答】解：取AB的中点G，连接DG，CG，如图 则DG∥BC，所以， 所以＝＝， 所以＝， 所以＝＝； 故答案为：． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得•＝m+2，||＝，进而有＝＝2，解可得m的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，向量＝（1，1），＝（m，2）， 则•＝m+2，||＝， 若在方向上的投影为2，则＝＝2， 解可得m＝2﹣2； 故答案为：2﹣2． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】利用平面向量的坐标运算可求得＝（﹣1，﹣2），＝（2，2），继而可得向量在方向上的投影为：，计算可得． 【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4）， ∴＝（﹣1，﹣2），＝（2，2）， ∴向量在方向上的投影为：＝＝﹣． 故答案为：． 39．【答案】． 【分析】根据已知及利用数量积的运算性质可得•≥，利用夹角公式及不等式的性质即可求解cos2θ的最小值． 【解答】解：因为，为单位向量，|2﹣|≤， 所以4﹣4•+1≤2， 所以•≥， 因为＝+，＝3+，，的夹角为θ， 所以cos2θ＝＝ ＝ ＝（1﹣） ≥（1﹣）＝， 故cos2θ的最小值为． 故答案为：． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，设C（m，0），A（0，n），B（﹣m，0），（m＞0，n＞0），根据向量的坐标运算，求出+＝（3m，﹣n）， 再根据向量的模的计算得到9m2+n2＝24，根据基本不等式即可求出mn的最大值，即为△ABC面积的最大值． 【解答】解：以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，设C（m，0），A（0，n），B（﹣m，0），（m＞0，n＞0） ∴＝（m，﹣n），＝（2m，0）， ∴+＝（3m，﹣n）， ∵|+|＝2， ∴9m2+n2＝24， ∵24＝9m2+n2≥2•3m•n＝6mn，当且仅当3m＝n时，即n＝2，m＝ ∴mn≤4， ∴S△ABC＝mn≤4， ∴△ABC面积的最大值为4， 故答案为：4． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】①由，得，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S； ②由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值． 【解答】解：①由，得， ∴； ②由， 可得， 于是， 即，（1） 又O为△ABC的外接圆圆心，则，＝，（2） 将（1）代入（2），得到＝， 解得||＝2． 由正弦定理得， 可解得sinB＝． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】||＝||＝4由，得：||•||＝||•||＝8，设||＝x，||＝y，则xy＝8，且0＜x≤4，0＜y≤4，从而x＝，进而＝+＝2x+2y＝2（x+），令f（x）＝2（x+），（2≤x≤y），则，结合导数性质能求出的取值范围． 【解答】解：由题设知：||＝||＝4， ∵， ， 由，得： ||•||＝||•||＝8， 设||＝x，||＝y，则xy＝8，且0＜x≤4，0＜y≤4， ∴x＝， 由＝，知： ＝+＝2x+2y＝2（x+）， 令f（x）＝2（x+），（2≤x≤y），则f′（x）＝， 令f′（x）＝0，得x＝2，当2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 又f（2）＝8，f（2）＝f（4）＝12， ∴f（x）在[2，4]上的最小值为8，最大值为12，即f（x）的值域为[8，12]， ∴的取值范围是[8，12]． 43．【答案】（1）向量，的夹角120°． （2）19． 【分析】（1）推出+＝﹣．|+|2＝|﹣|2．然后展开，化简求解即可． （2）化简4++3＝﹣2．然后利用向量的模的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（1）||＝5，||＝8，||＝7， ++＝． 可得+＝﹣．|+|2＝|﹣|2． ∴，即25+2+64＝49， ∴＝﹣20，可得cos＝＝＝， ∴向量，的夹角120°． （2）4++3＝4++3（﹣）＝﹣2． 所以|4++3|＝|﹣2| ＝ ＝ ＝＝19． 44．【答案】（1）单调增区间，单调减区间[]； （2）f（x）的值域为[]． 【分析】（1）先将f（x）化成形如f（x）＝Asin（ωx+θ）+k的形式，再结合复合函数的单调性的判断方法求解； （2）先将函数式化简为Asin（ωx+θ）+k的形式，然后借助于三角函数的有界性确定所求函数的值域． 【解答】解：（1）m＝﹣1时， ＝ ＝．因为x∈[，]，所以． 所以时，f（x）为单调增函数； 时，f（x）为单调减函数． （2）当m＝2时，f（x）＝ ＝sin2x+sinxcosx+sin2x﹣cos2x ＝ ＝． 所以函数f（x）的值域为[]． 45．【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）化简可得f（x）＝sin（2ωx﹣）+，由最小正周期求得ω＝1，再根据正弦函数的单调性，得解； （2）先根据正弦函数的图象与性质，解不等式f（x）≥1，再由几何概型，得解． 【解答】解：（1）＝sin2ωx+sinωxcosωx＝+sin2ωx＝sin（2ωx﹣）+， 因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0， 所以，解得ω＝1， 所以， 由，解得， 故函数f（x）的单调递增区间为． （2）因为，所以， 令，得，所以，即， 故所求的概率为． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平面向量的数量积和正弦定理、三角恒等变换，即可求出角A的值； （2）由题意利用三角形的面积和余弦定理，即可求出a的值． 【解答】解：（1）△ABC中，＝（a，c﹣2b），＝（cosC，cosA）， 当时，•＝acosC+（c﹣2b）cosA＝0， 即sinAcosC+（sinC﹣2sinB）cosA＝0， ∴sinAcosC+cosAsinC﹣2sinBcosA＝0， 即sin（A+C）﹣2sinBcosA＝0， ∴sinB＝2sinBcosA； 又B∈（0，π），∴sinB≠0， 解得cosA＝； 又A∈（0，π），∴A＝； （2）由b+c＝5，得b2+c2+2bc＝25； 又△ABC的面积为： S＝bcsinA＝bc×sin＝bc×＝，解得bc＝4； ∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（25﹣2bc）﹣2bccos＝（25﹣2×4）﹣2×4×＝13， 解得a＝． 47．【答案】或． 【分析】直接利用两个向量的数量积的定义及公式，两个向量的垂直，数量积为0，转化求解向量的夹角即可． 【解答】解：∵向量＝（4，1），＝（﹣6，7），∴﹣＝（10，﹣6）． ∵向量⊥﹣，不妨设＝（cosα，sinα），α∈[0，2π）， ∴•（﹣）＝（cosα，sinα）•（10，﹣6）＝10cosα﹣6sinα＝0， 即10cosα＝6sinα，即5cosα＝3sinα，即tanα＝，故α为第一象限角，或第三象限角． 若α为第一象限角，则cosα＝，sinα＝，即＝（，）， ∴•＝+＝＝1××cos＜＞，求得cos＜＞＝， 结合＜＞∈[0，π]，可得＜＞＝． 若α为第三象限角，则cosα＝﹣，sinα＝﹣，即＝（﹣，﹣）， ∴•＝﹣﹣＝﹣＝1××cos＜＞，求得cos＜＞＝﹣， 结合＜＞∈[0，π]，可得＜＞＝． 综上可得，＜＞＝或． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的基本关系可得，进而求得sin∠ABC及CA，由此得解； （2）先求得cos∠CAB，再结合已知即可得解． 【解答】解：（1）在△ABC中，， ，， ∴； （2）cos∠CAB＝cos[π﹣（∠ABC+∠ACB）]＝﹣cos（∠ABC+∠ACB） ＝sin∠ABCsin∠ACB﹣cos∠ABCcos∠ACB ＝， ∵在△ABC中AD＝CD， ∴． 49．【答案】（1）3；（2）1． 【分析】（1）先利用诱导公对函数化简，再由，得，对利用二倍角公式化简可得结果； （2）设P（3x，x），则由可，求出x的值，从而可求出OP的长，或点P在以AB为直径的圆x2+y2＝1上，从而可得结果． 【解答】解：（1）由 ＝， ； （2）法一：角θ终边上有一点P，满足， 因为，所以设P（3x，x）， 又A（1，0），B（﹣1，0）， 则， 则； 法二：因为，所以设P（3x，x）， 则点P在以AB为直径的圆x2+y2＝1上， 则OP＝1． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两个向量数量积公式及两个向量垂直的性质可得b2﹣c2+a2﹣ab＝0，再利用余弦定理求出cosC的值，即可得到C的值． （2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值． 【解答】解：（1）因为向量，，且． ∴•＝（sinB+sinC）2﹣sin2A﹣sinBsinC＝0⇒sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinc＝0； ∴b2+c2﹣a2+bc＝0⇒cocA＝＝﹣； ∵A∈（0，π）； ∴A＝． （2）由（1）得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣2bc×（﹣）， ∴b2+c2+bc＝3≥3bc， ∴bc≤1． ∵sinA＝sin＝， ∴S△ABC＝bc×sinA≤； ∴△ABC的面积的最大值为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 14:59:11；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$