第2章 第10节 函数模型的应用-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第十节　函数模型的应用 ★[考试要求] 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 　增函数　 　增函数　 　增函数　 增长速度 　越来越快　 　越来越慢　 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与　y轴　接近平行 随x值增大，图象与　x轴　接近平行 随n值变化而不同 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2； 当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) (3)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (4)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(必修第一册P96习题T5改编)在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：B　[由函数模型性质知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．] 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为　____　万件． 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案：18 　　　用函数图象刻画变化过程 [例1]　(1)(2024·江苏高三统考)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx　　　　　　 B．y＝a＋bx C. y＝a＋logbx D．y＝a＋ [解析]　B　[由题中散点图的定义域及函数增减性可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．] (2)(多选)(2024·石家庄模拟)血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 [解析]　ABC　[从题中图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后