专题18 利用导数研究不等式恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题18 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点1】分离参数法求参数范围 2 【考点2】分类讨论法求参数范围 4 【考点3】双变量的恒(能)成立问题 5 【分层检测】 6 【基础篇】 6 【能力篇】 7 【培优篇】 8 真题自测 一、解答题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 3．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 4．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 5．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 考点突破 【考点1】分离参数法求参数范围 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，曲线在处的切线方程为 B．在上的最大值与最小值之和为0 C．若在上为增函数，则a的取值范围为 D．在上至多有3个零点 三、填空题 3．（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 4．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数． (1)若函数在处取到极值，求实数a的值； (2)若,对于任意,当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 6．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数； (1)当时，讨论函数的单调性； (2)在恒成立，求整数的最大值. 反思提升： 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 【考点2】分类讨论法求参数范围 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题 3．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，函数. (1)当时，求的最小值； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求. 6．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围. 反思提升： 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【考点3】双变量的恒(能)成立问题 一、单选题 1．（2024·河南郑州·三模）设，且，则（    ） A．若，则 B．若，则存在且不唯一 C． D． 二、多选题 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设函数，下面四个结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数有且只有一个零点 C．函数的值域为 D．对任意两个不相等的正实数，若，则 三、填空题 3．（2023·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ． 四、解答题 4．（2024·重庆·模拟预测）函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 5．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若存在零点，求a的