第06讲 函数的概念与表示（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第06讲 函数的概念与表示（精讲） ①函数的判断与相同函数的判断 ②给出函数解析式求解定义域 ③抽象函数定义域的求法 ④函数值域的求法（八大类型） ⑤函数解析式的求法（五大类型） ⑥分段函数 一、必备知识整合 一、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 二、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 三、基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是. (4)且的值域是. (5)且的值域是. 五、分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 二、考点分类精讲 【题型一 函数的判断与相同函数的判断】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数. 【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 2．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 4．（23-24高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．    B．    C．    D．    5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（15-16高一上·广东揭阳·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（2023高一·全国·课后作业）已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2023高三·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型二 给出函数解析式求解定义域】 已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 【典例1】（22-23高一上·甘肃临夏·期末）求函数定义域： (1)； (2)． 一、单选题 1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A．