专题5.7 简单的轴对称图形——等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.7 简单的轴对称图形—等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】等腰三角形的轴对称性 1. 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 【知识点二】等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”）; 性质2：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）. 【知识点三】等边三角形的对称性 1. 对称性 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分边是等边三角形三条角平分线（三条中线或三条高线）所在的直线； 2. 性质：等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于60度. 【考点目录】 【考点1】等腰三角形的定义； 【考点2】利用等边对等角进行证明与求值； 【考点3】利用三线合一进行证明与求值； 【考点4】利用等边三角形的性质进行证明与求值； 【考点5】尺规作图——作等腰三角形, 【考点1】等腰三角形的定义； 【例1】（17-18七年级下·江苏·课后作业）在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的三边长． 【答案】这个等腰三角形的三边长为． 【分析】设，则，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答． 解：设，则， ∵上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴有两种情况： ①当，且， 解得， ∴三边长分别为； ②当且时， 解得，此时腰为， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在． ∴这个等腰三角形的三边长为． 【点拨】本题考查了等腰三角形性质和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k. 解：当腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式2】（2018·广东河源·一模）等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 度． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一个内角是，则这个角只能是顶角，再根据三角形内角和求出底角即可． 解：依题意得，等腰三角形的顶角是， 所以，它的底角的度数为 故答案为：20． 【考点2】利用等边对等角进行证明与求值； 【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）通过，可得，利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． （1）解：如图，， 平分， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质． 根据等腰三角形的性质得到，证明，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可． 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式2】（2023·北京海淀·模拟预测）如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，则 °． 【答案】30 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出底角，再根据，求出，最后利用外角的性质即可得解．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 解：∵，， ∴． ∵以点B为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：30． 【考点3】利用三线合一进行证明与求值； 【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明