河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024届高三下学期三模数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1.集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2.已知，则 A.0 B. C. D.1 3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是 1 学科网（北京）股份有限公司 ①若，且，则 ③若，且，则 ②若且，则 ④若，且，则 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 A. B. C. D. 5.函数在区间的图象大致为 A. C. B. D. 6.已知等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则 A. B. C. D. 7.设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 8.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论中，正确的有 A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B.若随机变量，则 C.已知经验回归方程为，且，则 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是 A. B. C. D. 11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是 A.当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面 B.当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为 C.点E到直线的距离的最小值为 D.当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.的展开式中的系数为 . 13.已知动点在圆上，动点Q在曲线上.若对任意的，恒成立，则的最大值是 . 14.在中，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求的值； (2)如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积. 16.设函数，（e为自然对数的底数） （1）若函数有两个极值点，求a的取值范围； （2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1. 17.如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点. (1)若，求证：平面； (2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长. 18.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； (2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； (3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 19.已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为.直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为. (1)求椭圆的方程. (2)记直线的斜率为，证明：为定值. (3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A） 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C A A A D D B BC BC ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14.16 15．(1)；(2)18 （1）因为，