专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题01 空间几何体的外接球与内切球问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：内切球等体积法 3 题型二：内切球独立截面法 3 题型三：外接球公式法 4 题型四：外接球补型法 4 题型五：外接球单面定球心法 4 题型六：外接球双面定球心法 5 三、专项训练 5 一、必备秘籍 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 类型一 球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二 球的外接问题 1、公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 二、典型题型 题型一：内切球等体积法 1．（2024·全国·模拟预测）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为 ． 2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 3．（23-24高二上·江西景德镇·期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积为 ． 题型二：内切球独立截面法 1．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球． 3．（2024高三·全国·专题练习）圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为，求球和圆台的体积之比． 题型三：外接球公式法 1．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（    ） A． B．1 C． D． 题型四：外接球补型法 1．（2024·河南信阳·模拟预测）把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ． 题型五：外接球单面定球心法 1．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为 . 题型六：外接球双面定球心法 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为 . 2．（23-24高二上·江西九江·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表