山东省德州市2024届高三下学期三模数学试题

高三数学试题 2024.5 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知两个非零向量满足，则（ ） A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A.35 B.21 C.14 D.7 4.某学习小组共有9名学生，其中有5名女生，现随机从这9名学生中抽取2名任小组组长，表示“抽到的2名学生都是女生”，表示“抽到的2名学生性别相同”，则（ ） A. B. C. D. 5.已知复数，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知点为圆上一动点，点满足，记点的轨迹为.直线上有一动点，直线与相切于点，则的最小值为（ ） A.2 B. C. D. 7.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8.双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长（分钟） 60 150 30 60 10 90 120 则（ ） A.运动时长的众数为60 B.运动时长的平均数为60 C.运动时长的分位数为60 D.运动时长的极差为140 10.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，则（ ） A.当时，点到平面的距离为 B.当时，二面角的余弦值为 C.若四棱锥的各顶点均在同一个球面上，则此球体积的最小值为 D.若四棱锥为正四棱锥且，则该四棱锥内切球的半径为 11.曲线上存在两个不同点，若在这两点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲线中存在“自公切线”的为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小2，则__________. 13.设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为__________. 14.数列中，，设是函数且的极值点，则的整数部分为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分） 已知函数. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）若时，函数存在极值点，且恒成立，求实数的取值范围. 16.（本小题满分15分） 如图，在多面体中，平面，且为的中点，连接，点满足. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分） 如图，四边形中，. （1）若，求的长度； （2）若，求面积的取值范围. 18.（本小题满分17分） 某学校为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康的生活和学习，组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，现将该学校1500名学生一周的体育运动锻炼时间（单位：小时）统计如下表所示，其中每周的锻炼时间在6小时以上（包含6小时）的有975人. 每周锻炼时间（单位：小时） 频率 0.2 0.3 0.1 （1）为了了解学生参与活动的情况，从每周锻炼时间在三组内的学生中，采取分层抽样的方法抽取了14人，现从这14人中随机抽取3人，记每周锻炼时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从每周锻炼时间在内的学生中随机抽取20人，这20人中每周锻炼时间在内的学生最可能有多少人？ 19.（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，左顶点为，且为坐标原点. （1）若直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，过点作斜率为的直线，直线与椭圆的另一个交点为