精品解析：湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

常德市一中2024年上学期高一年级期中考试 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C D. 3. 点E，F，G，H分别为空间四边形中，，，中点，若，且与所成角的大小为，则四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 4. 若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或，是异面直线 6. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度为（ ）. A. B. C. D. 8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分） 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则为等腰三角形. B. 若，则. C. 若，，，则有两解. D. 若，，则面积的最大值为 11. 已知正四棱台中，，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ） A. B. 高为 C. 体积为 D. 表面积为 12. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 最大值为9 D. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知复数满足，则的最大值是__________. 14. 边长为正，在斜二测画法下的直观图的面积是________． 15. 正三棱柱的所有棱长均为，则直线与平面所成的角的正弦值为_______________． 16. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____. 四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分） 17. 设实部为正数复数z，满足，且复数为纯虚数． （1）求复数z； （2）若复数z是关于x方程（m，的根，求实数m和n的值． 18. 如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积； （3）若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程． 19. 在中，，直线为线段的垂直平分线，与交于点，为上异于的任意一点. （1）求的值； （2）判断的值是否为一个常数？若是，请证明并求出常数；若不是，请说明理由. 20. 如图所示，在直三棱柱中，,,，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 21. 已知向量. （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 22. 如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥． （1）证明：平面平面． （2）设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市一中2024年上学期高一年级期中考试 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量三点共线的坐标表示计算即可. 【详解】易知， 又三点共线，所以. 故选：B 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的