精品解析：2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量数据监测理数试卷

2024年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测 理科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上，本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，且，则（ ） A 0或1 B. C. 0或 D. 0 3. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知南方某个地区的居民身高大致服从正态分布，单位．若身高在的概率为，则从该地区任选一人，其身高高于的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.15 5. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 7. 已知向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 1024所有正因数之和为（ ） A. 1023 B. 1024 C. 2047 D. 2048 9. 如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ） A B. C. D. 10. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角、、的对边分别为、、，若，则的最小值为（ ） A B. C. D. 12. 若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题-第23题为选考题，考生根据需求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设，则________． 14. 若的展开式中的系数为40，则实数________． 15. 在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是________． 16. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则该几何体外接球的体积为________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分． 17. 已知数列是首项为1的等差数列，是公比为3的等比数列，且． （1）求和的通项公式； （2）记为数列的前项和，，求的前项和． 18. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，求函数的不动点的个数． 19. 如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是． （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 20. 某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程； （2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 21. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点在以线段为直径的圆上，求的值； （3）若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． 22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，