江西省萍乡市2023-2024学年高三二模考试数学试卷

【新结构】（萍乡二模）2023-2024学年江西省萍乡市高三二模考试 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 复数，下列说法正确是（ ） A. 的实部为12 B. 的虚部为 C. D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（ ） A. 当时，存在使点为线段的黄金分割点 B. 对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点 C. 对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点 D. 对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点 8. 如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图2，已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心．直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为递增数列 D. 为周期数列 10. 已知，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 面积的最大值为1 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的概率为__________. 13. 在中，点分别在边上，，若交于点，则__________；当时，的面积为__________. 14. 正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 16. 定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中． 某校15名学生数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 12 14 13 11 15 （1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”； （2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望． 17. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是弧上一动点（不与重合），点在上，且，. （1）当时，证明：平面； （2）若四棱锥的体积大于等于. ①求二面角的取值范围； ②记异面直线与所成的角为，求的最大值. 18. 已知椭圆的离心率为是上的不同两点，且直线的斜率为，当直线过原点时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，点都不在轴上，连接，分别交于两点，求点到直线的距离的最大值. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为． （1）写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性