精品解析：2024年重庆市南开中学校九年级中考数学一模试题

数学（九） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 如图所示是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“体”字对面的字是（ ） A. 无 B. 南 C. 不 D. 开 3. 函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶9 5. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C D. 6. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ） A. 34 B. 38 C. 42 D. 46 8. 如图，半径为的中，是直径，点在上，连接，点为的中点，延长交的切线于点，若，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 9. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，，其中，在代数式A中任取两项相减后再求差的对值，同时在B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为，这样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式A中选取，在代数式B中选取a、，进行“换差绝对运算”，得到．下列说法正确的个数是（ ） ①存在某种“换差绝对运算”，使得； ②存在某种“换差绝对运算”，使得； ③在“换差绝对运算”中，有9种不同的结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 五边形的内角和等于___________度． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14. 在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字1、2、3，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，则两次记下的数字之和是奇数的概率为______． 15. 如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为______． 16. 如图，在中，为边中点．以为圆心，为半径画弧，恰好经过点．以为圆心，为半径画弧，与相切于点．若，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 17. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 18. 对于一个各个数位上的数字均不为0的自然数m，将各个数位上的数字任意排列，用排列后最大的数减去最小的数，我们称这样的运算为“极差变换”，记为．例如：，则，，．当时，称m是“极差数”．如果（，a为整数）是一个“极差数”，则______；已知（均为整数），若为整数，且，则_____． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点P．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角中，，且，求证：． 证明：∵，， ① ． 在与中，， ， ∴ ③ ， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题