精品解析：天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题 1. 已知复数，则其共轭复数虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ） A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 (　　) A. B. C. D. 6. 为所在平面内一点，且满足，则是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 7. 以下4个命题，其中正确的命题的个数为（ ） （1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； （2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件； （3）已知向量，若，，则； （4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则. A 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题 10. 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________ 11. 已知点，则在上的投影向量为____________. 12. 在中,,则_________. 13. 已知与为互相垂直单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是____________. 14. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为____________，球的体积为____________. 15. 已知在中，，，且的最小值为3，则___________，若P为边上任在一点，则的最小值为___________． 三、解答题 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若. ①求与的夹角的余弦值； ②求. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线. （1）求： （2）若，且，，求的面积. 19. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 20. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题 1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算直接计算可得结果. 【详解】因为. 所以. 所以的虚部为. 故选：A 2. 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ） A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据轴截面是正三角形，明确与的关系，再代入圆锥的侧面积公式可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以母线， 所以：. 故选：D 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还