培优点03函数中的构造问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

培优点03函数中的构造问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 【核心题型】 题型一　导数型构造函数 命题点1　利用f(x)与x构造 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数满足对都有，且当时，，若，，，则a、b、c的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 【变式3】（2023·河北承德·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 命题点2　利用f(x)与ex构造 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 【例题2】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为 . 【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 . 【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间和极值； (3)若对任意，有恒成立，求的取值范围． 命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝. 【例题3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）现有，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2020·江苏南通·三模）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 . 【变式3】（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则 . 题型二　同构法构造函数 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数． 【例题4】（2022·陕西咸阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（21-22高三上·全国·阶段练习）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·新疆·二模）已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（2024·山东济南·一模）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西九江·模拟预测）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（    ） A．是周期为2的函数 B．为偶函数 C． D．的值域为 6．（2023·湖南·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ） A． B．，函数有极值 C． D．，函数为单调函数 三、填空题 7．（2023·广东广州·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 . 8．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知为偶函数，