2024届黑龙江省佳木斯市第一中学高三三模数学试题

佳一中2023-2024学年度高三学年第三次模拟考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 Ⅰ卷 客观题（共73分） 一、单项选择题：（共8道小题，每题5分，共40分） 1．已知集合，，则为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾"形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（ ） A．图（1）的平均数＝中位数＝众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的平均数＜中位数＜众数 3．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 4．复数的虛部是（ ） A．1012 B．1011 C． D． 5．佳木斯市第一中学为丰富学生课余生活，利用大课间时间举行阳光体育活动，有多项趣味体育运动，某班有5位同学想参加旋风接力跑，趣味毛毛虫，企鹅漫步这三项活动，已知这5位同学每位学生只能选择一个项目参加，且每个项目都有同学参加，若同学A和B必须选择同一项比赛，则不同的选法种数是（ ） A．81 B．54 C．36 D．18 6．《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统宗》，由明代数学家程大位所著。该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷。其主要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知识。同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明。此外，《算法统宗》还包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容。其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问题。诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升？（ ） A．8.8升 B．9升 C．9.1升 D．9.2升 7．已知，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（ ） A．8 B． C．D．12 二、多项选择题：（共3道小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分．） 9．过抛物线上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（ ） A．抛物线的准线方程为． B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C．若则 D．若，则 10．长方体中，，，，，，以EF为直径的球与该长方体各棱公共点的个数可能为（ ） A．4 B．8 C．12 D．24 11．关于函数，则下列说法正确是（ ） A．π是函数的一个周期 B．在上单调递减 C．函数图像关于直线对称 D．当时，函数有40个零点 三、填空题：（共3道小题，每题5分，共15分．） 12．已知，，则______． 13．已知，对恒成立，则a的范围是______． 14．矩形ABCD，，，现将△BCD绕对角线BD旋转，使C旋转到，并使AB和边所在直线成角最大，则此时点A和之间的距离为______． Ⅱ卷 主观题（共77分） 四、解答题：（共5道小题，77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求∠A； （2）若，满足，，四边形ABDC是凸四边形，求四边形ABDC面积的最大值． 16．（15分）已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在单调递增，求a的取值范围； （3）若，，证明：． 17．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，底面ABCD为等腰梯形，，且． （1）证明：平面PAC⊥平面PBC； （2）若点A到平面PBC的距离为，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值． 18．（17分）一种抛骰子游戏的规则是：抛掷一枚质地均匀的骰子，若正面向上的点数不大于4点，得1分，若正面向上的点数大于4点，则得2分．得分累加，游戏次数无限制。 （1）求在已经得到2分的情况下，再抛掷2次得4分的概率； （2）抛掷4次的得分记为，求的分布列和数学期望； （3）求恰好得到分的概率． 19．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为AB，长轴长为4，点D为椭圆上与dB不重合的点，且． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）（1）一条垂直于x轴的动直线l交椭圆C于P，Q两点，当直线l与曲线相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，