专题15 导数的概念及运算-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题15 导数的概念及运算（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 4 【考点1】导数的运算 4 【考点2】导数的几何意义 5 【考点3】导数几何意义的应用 6 【分层检测】 7 【基础篇】 7 【能力篇】 9 【培优篇】 10 考试要求： 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数. 知识梳理 1.导数的概念 (1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝ . 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x). 5.复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0. 2.′＝－(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题 5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 7．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 8．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 考点突破 【考点1】导数的运算 一、单选题 1．（2023·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 3．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（