第二讲 行程问题2-（思维拓展讲义）五年级数学尖子生高分题库（通用版）

第2讲 行程问题2 ( 知识概述 ) 前一讲我们讨论了一些基本的行程问题，题中反映了一些简单的物体在非封闭图形状态下运动(在直道上行驶) 的相遇问题和追及问题。本讲主要讨论一些较复杂的相遇和追及问题，以及两者相结合的综合题。 ( 例题 精 学 ) 例1 苏步青教授是我国著名的数学家。有一次他遇到一位外国数学家，这位数学家出了一道题目让他做题目是: 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4 千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，向乙跑去。碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米? 苏步青略加思考，就把正确答案告诉了这位外国数学家。小朋友们，你能解答这道题吗? 【思路点拨】要求这只狗一共跑了多少千米,但是缺少狗跑的时间，这只狗从出发到结束的时间与甲、乙两人走的时间相同，甲、乙两人的相遇时间就是狗跑的时间。甲、乙两人同时从两地相向而行。由于狗从甲跑向乙，遇乙后又掉头跑向甲，遇甲后然后又转头跑向乙直至甲、乙两人相遇，狗停止跑。如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路程的和，很难算出结果。因此一定要从整体考虑。狗跑的时间正好就是甲、乙两人的相遇时间。用狗跑的速度乘上它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。 ( 例题 精 学 ) 例2 甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48 千米，两辆汽车在距中点32千米处相遇。东、西两地相距多少千米? 【思路点拨】 假设在同向行驶的状况下，甲车比乙车多行这段路程要用的时间，也就是两车相遇要用的时间(即相遇时间)。这道题是追及与相遇的综合题。解答这道题，首先要弄清“距中点 32 千米”的位置在哪里，相遇时甲车比乙车多行多少路程。在相同的时间内，甲行了全程的一半多32千米，乙行了全程的一半少32千米。也就是说，甲比乙多行了32x2=64(千米)。 有了甲车比乙车多行64千米和甲车每小时比乙车多行(56-48)=8(千米)，就能求出甲、乙两车相遇时甲车比乙车多行 64千米所用的时间。甲车比乙车多行64千米，要用64÷8=8(时)，也就是说，甲、乙两车是经过8小时在途中相遇的。然后用甲、乙的速度和乘上它们的相遇时间，算出两地间的路程。 ( 例题 精 学 ) 例3 甲、乙两列火车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。相遇后两列火车继续前进，到达目的地后都立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处。求A、B两地间的路程。 【思路点拨】甲、乙两车从出发到第一次相遇时共走了一个全程，甲车行了75千米。从第一次相遇到第二次相遇时(注意这里不是追上,而是面对面相遇)，甲车行了一个全程加55千米，乙车行了两个全程减55千米，也就是各行了一个多全程，两车多行的路程加起来刚好是1个全程，因此两车一共行了3个全程。(想想看,若第三次相遇,它们共行了几个全程呢?)根据两车第二次相遇时行的路程和是第一次相遇时行的路程和的3倍关系，而两车行驶的速度一直不变，那么甲车到第二次相遇时，应该行了3个75千米，即75×3=225(千米)。用225千米减去55千米，就算出了全程，也就是A、B间的路程。 ( 例题 精 学 ) 例4 兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走 90 米妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时，发现忘带课本立即沿原路回家去取，行到离学校 180 米处与妹妹相遇，他们家离学校有多远? 【思路点拨】利用追及思路求出哥哥从家到学校所用的时间，即可求出家到学校的距离。用180÷90=2(分)，求出哥哥在学校门口时妹妹应后退60×2=120(米)，即此时妹妹离学校120+180=300(米)。再用300÷(90-60)=10(分)，求出哥哥从家到学校的时间,那么,家到学校的距离就是 90×10=900(米)本题换个思路去思考。这题也是一种相遇问题，有点像例 2，可用追及思路求出哥哥与妹妹的相遇时间。 ( 例题 精 学 ) 例 5 小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地。早上6时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走5千米，小丽每小时走4千米，而小霞上午8时才从甲地出发。傍晚6时，小华和小霞同时到达乙地。问:小霞是在什么时间追上小丽的? 【思路点拨】这是一道较复杂的追及问题，关键是求出小霞的速度，然后就可以用追及问题的思路求出小霞在什么时间追上小丽了。由小华和小霞同时到达乙地，可求出小霞的速度。小华从甲地到乙地共用了18-6=12(时)，甲、乙两地间距离是5×12=60(千米)，小霞每小时走 60÷(18-8)=6(千米)。也可用(5×2)÷(18-8)=1(千米/时)，求出小霞和小华的速度差，然后求出小霞的速度为5+1=6(千米/时)。