第五讲 定义新运算-（思维拓展讲义）五年级数学尖子生高分题库（通用版）

第5讲 定义新运算 ( 知识概述 ) 加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其他运算，并给出特定的运算规则，这样的运算形式我们一般称之为定义新运算。定义新运算通常运用某种特殊符号来表示一种运算，其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同，解题的关键是通过表达式寻找到运算规则。 ( 例题 精 学 ) 例1 如果 2*3=2+3+4=9，5*4=5+6+7+8=26。求: (1) 9*5的值是多少? (2) 解方程χ*3 = 15。 【思路点拨】这种运算称作定义新运算。“*"表示求连续自然数的和，“*”前的数表示第一个数(首项)，“*”后的数表示连续自然数的个数(项数)。 ( 例题 精 学 ) 例2 定义两种运算“⊕”、“⊙”，对于任意两个整数 a、b，都有: a⊕b=a+b-1，a⊙b=axb-1。若χ⊕(χ⊙4)=33，求χ的值。 【思路点拨】在有括号时，要先算括号内的再算括号外的。同时还要注意有两种运算状态时的运算。题中有两个“χ”，定义了两种运算,在运算时运算顺序还是按照四则运算的顺序进行。 此题的运算方法是:先根据符号“⊙”所表示的意义，将小括号里的式子改写成χx4-1,再根据符号“⊕”所表示的意义将 χ⊕(χx4-1)改写成χ+(χx4-1)-1，即原方程可变为:χx 5-2=33，然后再求出未知数χ。 ( 例题 精 学 ) 例3 定义一种运算“*”，它的意义是 a*b=a+aa+aaa+……+aaa……a(a,b都是非0自然数) b个a (1) 求:2*3,3*2; (2) 若 1*χ=123456789,求χ; (3)求: 5678x(5677*2)-5677x(5678*2)。 【思路点拨】 为完整理解“*”的意义，可以从简单的情况入手:6*5=6+66+666+6666+ 66666，32*3=32+3232+323232对于问题(2)，如果你能熟悉1+11+111+1111+11111= 12345，那么问题就很容易解决了。按照这样的思路，问题(3)就可以运用乘法分配律来解答了。 ( 例题 精 学 ) 例4 规定“”的运算法则如下，对于任何整数 a,b,有: ab= 求: (12) +(23)+(34)+(45)+(56)+(67)+(78)+(89)+(910)。 【思路点拨】这里有两种运算，要注意分辨清楚。可以将算式按两种运算进行分类: (12)(23)、(34)、(45)和(56)、(67)(78)、(89),(910)。 ( 例题 精 学 ) 例5 下图是一个运算器的示意图，A、B 是输入的两个数据，C是输出的结果。请据此判断，当输入A值是2011，输人B值是9时，运算器输出的C值是多少? A 32 45 46 56 B 5 3 8 5 C 2 0 6 1 ( 运算器 )A B 【思路点拨】这道题的运算规律不好找。先要从表中 A、B、C 的关系去分析。32÷5=6…2 45÷3=15…0,46÷8=5…6 ,56÷5=11…1看出什么了吗?运算器输人的A是被除数，B是除数，输出的C是余数，按这种想法就好解答了。 ( 同步精练 ) 1.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2= 4 + 44，那么7*4的值是多少? 2.若a*b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+……+(a+b-1)，那么χ*10=65中χ的值是多少? 3.对于任意自然数 P、Q,规定: P+Q-10 (P+Q≥10) P⊕Q= P×Q÷2 (P+Q<10) 求:(1⊕2)+(2⊕3)+(3⊕4)+(4⊕5)+(5⊕6)+(6⊕7)+(7⊕8)+(8⊕9)+(9⊕10)。 4.对于整数 a、b，规定: a*b=axb-1，又知(3*χ)*2=0,则χ的值是多少? 5.对于任意自然数χ、y，定义运算如下: 若χ、y同奇同偶，则χ◎y=(χ+y)÷2; 若χ、y奇偶性不同，则χ◎y=(χ+y+1)÷2。 求:(1994◎1995)+(1995◎1996)+(1996◎1997)+……+(1999◎2000)。 6.两个不等的非0自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a▽b。比如 5▽2=1，7▽25=4，6▽18=0。已知(19▽χ)▽19=5，而且χ小于50，求χ的最大值。 7.若a△b=axb-a，已知(2△χ)△2=0，求χ。 8.一个特殊的计算器，上面有个“