第2讲 启智微专题 建模提能2 双星、多星模型-【金版教程】2025年高考物理一轮复习解决方案全书word（新教材）

高考科学复习解决方案 物理 建模提能2　双星、多星模型 前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。 1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 2．三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 “双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A．B星球的轨道半径为L B．A星球运行的周期为2πL C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2 D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零 [答案]　B [解析]　由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为ω，轨道半径分别为r1、r2，根据牛顿第二定律，对A星球有：G＝m1ω2r1，对B星球有：G＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝L，r2＝L，A错误；根据G＝m1r1，r1＝L，解得A星球运行的周期T＝2πL，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比＝＝，C错误；O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力FB＝＝，受到A星球的万有引力FA＝＝，故该质点受到两星球的引力之和不为零，D错误。 【名师点睛】　解决双星、多星问题，要抓住四点 (1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 1.(2023·江苏省淮安市高三下三统模拟检测)人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则(　　) A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．其运动周期T＝ D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 答案　C 解析　设黑洞A、B的质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度均为ω，线速度大小分别为vA、vB，由万有引力提供向心力有＝mAω2RA，＝mBω2RB，由题意有RA＋RB＝L，mA＋mB＝M，联立可得＝，而RA>RB，所以mA<mB，又由v＝ωr可知，黑洞A、B的线速度大小分别为vA＝ωRA，vB＝ωRB，则vA>vB，故A、B错误；由A、B项分析可解得ω＝，可知当两个黑洞的总质量M一定时，L越大，则角速度越小，故D错误；根据T＝，可解得两个黑洞的运动周期T＝，故C正确。 2.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是(　　) A．每颗星球做圆周运动的半径都为R B．每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关 C．每颗星球做圆周运动的周期都为2πR D．若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变 答案　ACD 解析　由几何关系知每颗星球做圆周运动的半径r＝R，故A正确；任意两颗星球之间的万有引力为F＝，每一颗星球受到的合力F1＝F，由合力提供向心力，有＝ma，解得a＝，即每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量m成正比，故B错误；由合力提供向心力，有＝mr，解得每颗星球做圆周运动的周期T＝2πR，故C正确；由合力提供向心力，有＝m，解得v＝，若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变，故D正确。 课时作业 [A组　基础巩固练] 1.(2023·安徽省芜湖市高三下5月教学质量统测(二模))目前在轨的中国空间站“天和”核心舱是迄今为止我国发射的最大航天器，也是世界上现役航天器中最大的单体。若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则空间站的运行速率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设空间站的轨道半径为r，质量为m，运行速率为v，地球质量为M，由扇形面积公式可知，单位时间内空间站与地心连线扫过的面积为S＝vr，由万有引力提供向心力可知G＝m，对于质量为m′的物体，其在地球表面受到的重力近似等于地球引力，有m′g＝G，联立解得v＝，故B、C、D错误，A正确。 2．(2023·黑龙江省齐齐哈尔市高三一模)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统。该系统包括5颗地球同步卫星和30颗中圆轨道卫星，中圆轨道卫星的轨道半径比同步卫星的小，关于北斗卫星，下列说法中正确的是(　　) A．中圆轨道卫星线速度比同步卫星线速度小 B．中圆轨道卫星的发射速度比同步卫星发射速度小 C．通过调整，可使同步卫星定点在北京上空 D．同步卫星的向心加速度比地球赤道上物体随地球自转时的向心加速度小 答案　B 解析　设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，线速度大小为v，对于绕地球做圆周运动的卫星，由万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，可知轨道半径越小，卫星线速度越大，由于中圆轨道卫星的轨道半径比同步卫星的小，故中圆轨道卫星线速度比同步卫星线速度大，A错误；卫星的轨道半径越大，需要的发射速度越大，B正确；同步卫星只能定点在赤道上空，而北京不在赤道上，故同步卫星不可以定点在北京上空，C错误；同步卫星与赤道上物体随地球自转角速度相同，由a＝rω2可知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体随地球自转时的向心加速度，D错误。 3．(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”(　　) A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 答案　C 解析　“天问一号”发射后要脱离地球引力束缚，则发射速度要超过第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误；由题图可知，地火转移轨道的半长轴比地球轨道半径大，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”在地火转移轨道上运行的周期大于地球的公转周期12个月，因此从P转移到Q的时间大于6个月，故B错误；根据开普勒第三定律，并结合停泊轨道、调相轨道的半长轴大小关系，可知“天问一号”在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；“天问一号”在P点点火加速，做离心运动进入地火转移轨道，故在地火转移轨道上P点的速度比地球环绕太阳的速度大，即v地火P>v地，“天问一号”沿地火转移轨道到达Q点之后，要加速才能进入火星轨道，即v火＞v地火Q，根据v＝可知，地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，即v地＞v火，所以v地＞v地火Q，即“天问一号”在地火转移轨道上运动时并不是每一点的速度都比地球绕太阳的速度大，故D错误。 4．(2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A．木卫一轨道半径为r B．木卫二轨道半径为r C．周期T与T0之比为n D．木星质量与地球质量之比为n3 答案　D 解析　对环绕质量为M的行星做圆周运动的质量为m的卫星，设其轨道半径为r′，公转周期为T′，根据万有引力提供向心力有G＝mr′，可得M＝。已知木卫一、木卫二、木卫三均绕木星做圆周运动，周期之比为T1∶T2∶T3＝1∶2∶4，可得木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶∶，又r3＝nr，则木卫一轨道半径为r1＝，木卫二轨道半径为r2＝×＝，故A、B错误；由M＝得T′＝，则＝·＝n，C错误；由M＝可知，＝·＝n3，D正确。 5．(2023·湖北高考)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 答案　B 解析　火星和地球均绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律有＝，可得火星与地球绕太阳运动的周期之比＝＝，A错误；火星和地球几乎在同一平面内均沿逆时针方向绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者的相对速度最大，B正确；在星球表面，物体所受万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，得g＝，从题给条件无法求得火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，结合A项分析知ω地>ω火，设相邻两次“火星冲日”之间的时间为t，则有(ω地－ω火)t＝2π，可得t＝＝T地＝2.2T地>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，D错误。 [B组　综合提升练] 6．(2023·辽宁省葫芦岛市高三下第二次模拟)神舟十五号飞船停靠天和核心舱后，中国空间站基本建成。空间站绕地球可看作做匀速圆周运动，由于地球的自转，空间站的飞行轨道在地球表面的投影如图所示，图中标明了空间站相继飞临赤道上空所对应的地面的经度。设空间站绕地球飞行的轨道半径为r1，地球同步卫星飞行轨道半径为r2，则r2与r1的比值最接近的值为(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 答案　C 解析　由题图可知，空间站每绕地球运动一圈，地球自转转过的角度为22.5°，设空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球自转周期为T0，则有T＝·T0＝T0，设地球质量为M，对于绕地球做匀速圆周运动、质量为m的卫星，由万有引力提供向心力有＝mr，可得卫星轨道半径r＝，则有＝＝≈6，故选C。 7．(多选)航天员进入空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光。如图所示，某航天员在A点测出她对地球的张角为2θ，OA与太阳光平行，下列说法正确的是(　　) A．空间站距地面的高度为－R B．空间站的运行周期为2πR C．航天员每次经历“日全食”过程的时间为 D．航天员每天经历“日全食”的次数为 答案　AC 解析　空间站绕地球做匀速圆周运动，设空间站的轨道半径为r，由几何关系知sinθ＝，空间站距地面的高度为h＝r－R＝－R，故A正确；万有引力提供向心力，则＝m，联立解得T＝，故B错误；地球自转周期为T0，空间站绕地球一圈时间为T，空间站绕地球一圈会有一次“日全食”，因此，一天内空间站经历“日全食”的次数为n＝＝，D错误；如图所示，由几何关系可知，空间站在每次“日全食”过程的时间内转过的角度α＝2θ，则每次“日全食”过程的时间为t＝T＝，故C正确。 8.(多选)2020年7月23日，中国火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场发射升空。如图所示，已知地球和火星到太阳的距离分别为R和1.5R，若某火星探测器在地球轨道上的A点被发射出去，进入预定的椭圆轨道，通过椭圆轨道到达远日点B进行变速被火星俘获。下列说法正确的是(　　) A．探测器在椭圆轨道A点的速度等于地球的公转速度 B．探测器由A点大约经0.7年才能抵达火星附近的B点 C．地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔约为2.2年 D．探测器在椭圆轨道A点的加速度小于在B点的加速度 答案　BC 解析　探测器由地球轨道进入椭圆轨道需在A点减速，所以在椭圆轨道A点的速度小于地球的公转速度，故A错误；因为地球的公转周期T1＝1年，设探测器在椭圆轨道运行的周期为T2，根据开普勒第三定律得＝，解得T2≈1.4年，则探测器由A点发射之后，大约经t＝＝0.7年才能抵达火星附近的B点，同理可求得火星绕太阳运动的周期T3≈1.84年，设地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔为Δt，则Δt＝1，解得Δt＝2.2年，故B、C正确；根据a＝G，可知探测器在椭圆轨道A点的加速度大于在B点的加速度，故D错误。 9.(2022·河北省唐山市高三下第二次模拟演练)(多选)在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，组成双星的两颗恒星都称为双星的子星。有的双星，不但相互之间距离很近，而且有物质从一颗子星流向另一颗子星。设子星B所释放的物质被子星A全部吸收，并且两星间的距离在一定的时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是(　　) A．子星A的轨道半径不变 B．子星A的运动周期不变 C．两星间的万有引力不变 D．两星速率之和不变 答案　BD 解析　设子星A的质量为M，轨道半径为rA，子星B的质量为m，轨道半径为rB，两星之间的距离为r，两星角速度为ω，则对子星A有＝Mω2rA，对子星B有＝mω2rB，又因为rA＋rB＝r，解得ω＝，＝，rA＝r，由题知m＋M、r均不变，m变小，所以子星A的轨道半径变小，故A错误；由A项可知ω＝，因为两星球的总质量(m＋M)不变且两星间的距离r在一定的时间内不变，故两星球的角速度不变，又T＝，故两星球的周期不变，即子星A周期不变，B正确；两星间万有引力F＝，已知两星的质量总和(M＋m)不变，由题图及＝，知M>m，结合数学知识可知Mm变小，则引力大小变小，故C错误；两星速率之和为vA＋vB＝ωrA＋ωrB＝ωr，由以上分析可知两星角速度不变，又两星间距离不变，故两星球的速率之和不变，D正确。 10.(2023·山东省青岛市高三下第三次适应性检测)(多选)科幻电影中常用强度很高的碳纳米材料制作“太空天梯”的缆绳，如图是太空天梯的结构示意图，平衡锤、空间站、地面基站间均通过碳纳米缆绳垂直连接，且相对地面静止。运载舱可沿缆绳上下运动，将人和货物运送至空间站。下列说法正确的是(　　) A．地面基站可以建设在青岛 B．若空间站和平衡锤间的缆绳断开，平衡锤将做离心运动 C．平衡锤的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度 D．若运载舱停在距离地面高度等于地球半径处，缆绳给运载舱的拉力向上 答案　BD 解析　空间站、平衡锤受沿缆绳向下的地球的引力，以及可能的沿缆绳方向的拉力，二者相对地面静止，则一定随地面基站绕地轴自转，二者的轨道平面均垂直于地轴，由于二者所受合力均沿缆绳方向，则二者的轨道平面一定与赤道平面重合，即地面基站只能建设在赤道上，A错误。设平衡锤的质量为m，离地心距离为r，受缆绳指向地心的拉力为F，地球质量为M，地球自转角速度为ω0，地球同步卫星轨道半径为r0，则对平衡锤，由牛顿第二定律有G＋F＝mωr；若r＝r0，根据地球同步卫星的受力特点可知，F＝0，由上式可知，若r<r0，则F为负值，而缆绳的拉力F≥0，则r≥r0；若r＝r0，对空间站同理分析可知，空间站受到上方缆绳向上的力F，根据牛顿第三定律，平衡锤受到缆绳向下的力，这与实际不符，因此r>r0，即平衡锤的轨道高度大于地球同步卫星的轨道高度，且F>0，若空间站和平衡锤间的缆绳断开，地球引力无法完全提供平衡锤做圆周运动所需的向心力，平衡锤将做离心运动，C错误，B正确。若运载舱停在距离地面高度等于地球半径处，因其与地心距离小于r0，根据B、C项分析同理可知缆绳对运载舱的拉力向上，D正确。 11 学科网（北京）股份有限公司 $$