第2讲 启智微专题 满分指导1 平抛运动中的临界和极值问题-【金版教程】2025年高考物理一轮复习解决方案全书word（新教材）

高考科学复习解决方案 物理 满分指导1　平抛运动中的临界和极值问题 [案例剖析] 　(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求： (1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围； (2)小球落在空地上的④最小速度。 [审题　抓住信息，准确推断]　 关键信息 信息挖掘 题干 ①水平飞出 说明小球做平抛运动 ②落在围墙外的空地上 说明小球既要飞出墙外，又要落在空地上 问题 ③v0的大小范围 由平抛运动规律可知，当小球恰好越过墙的边缘时v0最小，恰好落到空地的右侧边缘时v0最大 问题 ④最小速度 小球下落高度一定，落地时竖直分速度一定，当水平速度最小时，小球落地速度最小 [破题　形成思路，快速突破]　 (1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，请写出平抛运动的位移方程。 ①水平方向：L＋x＝v1t1； ②竖直方向：H＝gt。 (2)设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，请写出平抛运动的位移方程。 ①水平方向：L＝v2t2； ②竖直方向：H－h＝gt。 (3)请写出v0的取值范围。 提示：v0的取值范围为v2≤v0≤v1。 (4)在v0的取值范围内落地速度最小时，对应的初速度是多少？ 提示：v0对应最小值v2时，小球落地速度最小。 [解题　规范步骤，水到渠成]　 (1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移： L＋x＝v1t1(2分) 小球的竖直位移： H＝gt(2分) 解以上两式得： v1＝(L＋x)＝13 m/s(1分) 设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移： L＝v2t2(2分) 小球的竖直位移： H－h＝gt(2分) 解以上两式得： v2＝L＝5 m/s(1分) 小球抛出时的速度大小范围为 5 m/s≤v0≤13 m/s(1分) (2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向： v＝2gH(2分) 又有：vmin＝(2分) 解得：vmin＝5 m/s。(1分) [点题　突破瓶颈，稳拿满分]　 (1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过围墙的边缘时v0有最小值、恰好落到空地边缘时v0有最大值这两个临界状态，导致无法求出结果。 (2)因解答不规范导致的失分： ①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分； ②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。 课时作业 [A组　基础巩固练] 1.(2023·广东省韶关市高三下综合测试二)如图所示，在飞镖比赛中，某同学将飞镖从O点水平抛出，第一次击中飞镖盘上的a点，第二次击中飞镖盘上的b点，忽略空气阻力，则(　　) A．飞镖第一次水平抛出的速度较小 B．飞镖第二次抛出时的动能较小 C．飞镖两次在空中运动的时间相等 D．飞镖两次击中飞镖盘时的速度方向相同 答案　B 解析　飞镖抛出后做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2，解得飞镖在空中运动时间为t＝，飞镖第二次抛出后下降的高度较大，则在空中运动时间较长，飞镖两次水平位移相等，由x＝v0t，知飞镖第二次水平抛出的速度较小，动能较小，故A、C错误，B正确；飞镖击中飞镖盘时的速度方向与水平方向夹角的正切值为tanα＝＝，由前面分析知飞镖第二次抛出运动时间较长，而初速度较小，可知飞镖第二次抛出击中飞镖盘时的速度方向与竖直方向夹角的正切值较大，夹角较大，故D错误。 2.(2023·广东省梅州市高三下二模)亲子游戏有益于家长与孩子之间的情感交流。如图所示，父亲与儿子站在水平地面玩抛球游戏，两人相向站立，各持一小球并将球水平抛出，下述抛球方式可能使两球在落地前相遇的有(　　) A．父亲先将球抛出 B．儿子先将球抛出 C．两人同时将球抛出 D．儿子下蹲适当高度后再与父亲同时将球抛出 答案　A 解析　小球平抛运动至相同高度时，父亲抛出的球竖直位移较大，根据h＝gt2可知，t＝，则父亲抛出的小球运动的时间较长，即若使两球在落地前相遇，父亲应先将球抛出，故A正确，B、C错误；同时将球抛出，则两球在相同时间内下落相同的高度，由于初始高度不同，则两球无法在同一时刻到达相同高度，即两球不能相遇，故D错误。 3.(2022·福建省龙岩市高三下第三次教学质量检测)在某一飞镖比赛中，运动员在同一位置水平掷出两支飞镖，结果分别打在靶心的A点和与靶心等高的B点，如图所示。已知投掷点与靶心在与飞镖靶垂直的同一竖直平面内，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．两飞镖运动的时间相同 B．两飞镖掷出时的速度大小相同 C．两飞镖运动的位移大小相同 D．两飞镖打在靶上时的速度大小相同 答案　A 解析　两飞镖从水平掷出到击中镖靶，竖直方向做自由落体运动的位移相同，根据h＝gt2可得t＝，可知两飞镖运动的时间相同，A正确；由题意可知，两飞镖在空中运动过程中的水平位移大小不同，由x＝v0t并结合A项分析知，两飞镖掷出时的速度大小不同，由s＝可知，两飞镖运动的位移大小不同，B、C错误；两飞镖打在靶上时水平方向的速度等于掷出时的速度，而竖直方向的速度均为vy＝gt＝，由速度合成法则并结合B项分析知，两飞镖打在靶上时的速度大小不同，D错误。 4.如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　) A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 答案　C 解析　将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A。若a、b两球的初速度合适，可知两小球均可以做平抛运动落在A点，则a、b运动的时间相等，即可以同时落在半圆轨道和斜面上；若a、b两球的初速度比前述的小，由图可知，小球b先落在斜面上；若a、b两球的初速度比前述的大，则小球a先落在半圆轨道上，故A、B错误，C正确。若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。 5.(2023·广东省湛江市高三下第二次模拟)如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h＝1.8 m，篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为x＝5 m，水平分速度大小v＝10 m/s。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2。要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则篮筐离地面的高度H为(　　) A．2.85 m B．3.05 m C．3.25 m D．3.5 m 答案　B 解析　篮球离开手后做斜上抛运动，水平方向有x＝vt，则篮球离开手到篮筐的运动时间为t＝＝ s＝0.5 s，要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则竖直方向有H－h＝gt2，可解得H＝3.05 m，故选B。 [B组　综合提升练] 6.(2023·湖南省衡阳市高三下二模)(多选)主题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的中点P和末端D，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，则(　　) A．甲运动员从B点飞出到距离着陆坡最远所需要的时间t＝ B．v1、v2的大小关系为v2＝2v1 C．甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向相同 D．甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大 答案　AD 解析　设甲运动员从B点飞出到距离着陆坡最远所需要的时间为t，甲运动员距离着陆坡最远时，速度方向与着陆坡平行，则有tanθ＝＝，解得t＝，A正确；设BC高度为h，CD长度为l，甲、乙运动员在空中的运动时间分别为t1、t2，对甲运动员有h＋sinθ＝gt，cosθ＝v1t1，解得v＝，对乙运动员有h＋lsinθ＝gt，lcosθ＝v2t2，解得v＝，因为＝<＝，则<，B错误；设甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角分别为α1和α2，位移方向与水平方向的夹角分别为β1和β2，根据平抛运动推论可知tanα1＝2tanβ1，tanα2＝2tanβ2，由题图可知，甲运动员落到着陆坡前瞬间位移方向与水平方向夹角比乙的大，即β1>β2，则有tanβ1>tanβ2，可得tanα1>tanα2，α1>α2，即甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大，C错误，D正确。 7．(多选)如图所示，在一次比赛中，中国女排运动员朱婷将球在边界处正上方正对球网水平向前击出，球刚好过网落在图中位置(不计空气阻力)，相关数据如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝1.8h2 B．若保持击球高度不变，球的初速度满足<v0<，一定落在对方界内 C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 答案　AD 解析　做平抛运动的球在水平方向上做匀速直线运动，水平位移为s和所用的时间比为2∶3，则竖直方向上，根据h＝gt2，有＝，解得h1＝1.8h2，故A正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，且既不能出界，又不能触网，根据h1＝gt，得t1＝，则平抛运动的最大初速度v01＝＝，根据h1－h2＝gt，得t2＝，则平抛运动的最小初速度v02＝＝s＝，故B错误；任意降低击球高度(仍大于h2)，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大会出界，速度小会触网，所以击球高度比网高，不一定能将球发到对方界内，故C错误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内，故D正确。 8.(2023·江苏省南京市高三下二模)如图所示，有一倾角为α的足够长斜面，现从斜面上O点与斜面成β角(β<90°)，以速度v0、2v0分别抛出小球P、Q，小球P、Q刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别vP、vQ，设O、A间的距离为s1，O、B间的距离为s2，不计空气阻力，当β取不同值时，下列说法正确的是(　　) A．vQ一定等于2vP B．vQ方向与斜面的夹角一定小于vP方向与斜面的夹角 C．P、Q在空中飞行的时间可能相等 D．s2可能大于4s1 答案　A 解析　将小球在O点的初速度v初和加速度沿垂直斜面方向和平行斜面方向分解，垂直斜面方向的初速度大小v⊥＝v初sinβ，平行斜面方向的初速度大小v∥＝v初cosβ，垂直斜面的加速度大小a⊥＝gcosα，平行斜面的加速度大小a∥＝gsinα，小球从O点抛出后在空中飞行的时间t＝＝∝v初，所以P、Q在空中飞行的时间之比为v0∶2v0＝1∶2，故C错误；小球的位移s＝v∥t＋a∥t2＝v∝v，可得＝，故D错误；小球刚要落在斜面上的速度与斜面的夹角θ的正切值tanθ＝＝＝，可知vQ方向与斜面的夹角一定等于vP方向与斜面的夹角，小球刚要落在斜面上的速度v末＝＝∝v初，则vQ＝2vP，A正确，B错误。 9．(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 答案　 解析　石子抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，设接触水面时的竖直分速度为vy，则有v＝2gh 设抛出速度为v0，由题意可知≤tanθ 联立解得v0≥ 则石子抛出速度的最小值为。 10.如图所示，倾角θ＝37°的斜面足够大，顶端MN水平。一质量m＝0.9 kg的小球自MN上一点以v0＝2 m/s的初速度垂直MN水平抛出，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。 (1)求小球自抛出至落到斜面上的时间； (2)若小球运动过程中始终受到平行MN的恒定水平风力，小球落到斜面上时的位移大小为1.25 m，求小球受到的水平风力大小。 答案　(1)0.3 s　(2)20 N 解析　(1)设小球自抛出至落到斜面上的时间为t1，则 小球水平位移：x＝v0t1 竖直位移：y＝gt 又tanθ＝ 联立并代入数据解得：t1＝0.3 s。 (2)设小球受到的平行MN的恒定水平风力大小为F，由牛顿第二定律得F＝ma 小球沿MN方向的位移：z＝at 小球落在斜面上的时间不变：t2＝t1＝0.3 s 小球的位移：s＝ 联立并代入数据解得：F＝20 N。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$