第1讲 启智微专题 建模提能1 小船渡河模型-【金版教程】2025年高考物理一轮复习解决方案全书word（新教材）

高考科学复习解决方案 物理 建模提能1　小船渡河模型 1．模型构建 在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。 2．模型条件 (1)物体同时参与两个匀速直线运动。 (2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。 3．模型特点 (1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 (2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。 (3)三种情境 渡河时间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于d 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。 (1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ [答案]　(1)船头垂直于河岸　36 s　90 m (2)船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (3)船头与上游河岸成53°角　150 s　300 m [解析]　(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为 v⊥＝v2＝5 m/s t＝＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s x＝v合t＝90 m。 (2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。 垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。 所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，x＝d＝180 m t＝＝＝ s＝24 s。 (3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为β，则航程x＝，欲使航程最短，需β最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心、v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。 此时sinβ＝＝，得β＝37° 所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。 t＝＝ s＝150 s x＝＝300 m。 【名师点睛】　求解小船渡河问题的方法 小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。 (2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，由t＝＝＝求解。 (4)求最短渡河位移：当水速小于船速时，即为河宽；当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。 1．(2021·辽宁高考)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为(　　) A．75 s B．95 s C．100 s D．300 s 答案　D 解析　当船头垂直河岸方向行驶时，渡河时间最短，tmin＝＝ s＝300 s，故D正确。 2．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是(　　) A．vA∶vB B．vB∶vA C．v∶v D．v∶v 答案　D 解析　两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即＝＝＝cosθ，而v水＝＝，即cosθ＝，所以＝，故D正确，A、B、C错误。 课时作业 [A组　基础巩固练] 1.对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是(　　) A．受力可能为零 B．加速度可能保持不变 C．一定受到变力的作用 D．加速度可能和运动方向相同 答案　B 解析　做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。 2．(2023·辽宁高考)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　) 答案　A 解析　由题图可知篮球做曲线运动，所以篮球所受合力F应指向运动轨迹的凹侧，故只有A可能正确。 3.(2022·河北省邢台市高三上10月联考)如图所示，一塔式起重机正在工作，在某段时间内，吊车P沿吊臂向末端M水平匀速移动，同时吊车正下方的重物Q先匀减速竖直上升，后匀加速竖直上升。该段时间内，重物Q的运动轨迹可能是(　　) 答案　C 解析　由运动轨迹与力的关系可知运动轨迹向力的方向弯曲，由题可知，重物Q的加速度先向下，后向上，可得重物Q所受的合力先向下后向上，所以重物Q的运动轨迹先向下弯曲，然后向上弯曲，故C正确，A、B、D错误。 4．(2023·吉林省吉林市高三下第二次调研)某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的水平航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路上有速度为54 km/h的持续东风，若不考虑地球自转，则(　　) A．飞机的飞行方向为北偏西θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝ B．飞机的飞行方向为北偏东θ角(0<θ<90°)，且sinθ＝ C．飞机实际的飞行速度大小为100 m/s D．飞机实际的飞行速度大小为100 m/s 答案　B 解析　若使飞机严格按照从南到北的水平航线飞行，则其速度方向如图所示，则飞机的飞行方向为北偏东θ角，且sinθ＝＝＝，故A错误，B正确；飞机实际的飞行速度大小为v＝＝ km/h＝36 km/h＝10 m/s，故C、D错误。 5.在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则(　　) A．绳对船的拉力逐渐增大 B．船所受水的浮力保持不变 C．岸上人拉绳的速度保持不变 D．岸上人拉绳的速度逐渐增大 答案　A 解析　对船进行受力分析，如图1，因为船做匀速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有：Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳子的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。 [B组　综合提升练] 6.(2023·辽宁省鞍山市高三下第一次模拟联考)“歼－20”再次闪亮登场2022珠海航展。如图所示，战机先水平向右，再沿曲线ab向上，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机(　　) A．所受合力不变 B．所受合力方向竖直向上 C．竖直方向的分速度不变 D．水平方向的分速度逐渐减小 答案　D 解析　战机飞行速率不变，则合力方向始终与速度方向垂直且指向轨迹凹侧，即垂直轨迹切线向上，可知战机所受合力方向不断变化，不是竖直向上的，故A、B错误；战机沿ab段曲线飞行过程中，战机速度大小不变，速度方向与水平方向的夹角θ逐渐增大，则竖直方向的分速度vy＝vsinθ逐渐增大，水平方向的分速度vx＝vcosθ逐渐减小，故C错误，D正确。 7.如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒斜向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直方向的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝，故B正确。 8．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v­t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　　) A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大 D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 答案　BD 解析　v­t图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v­t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v­t图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。 9．(2023·山东省临沂市高三下二模)某军事兴趣小组在进行无人机战争模拟撞击训练中，无人机以10 m/s的速度水平飞过地面A点正上方40 m的位置时，收到操作员发出的指令，立即以5 m/s2的恒定加速度运动且恰好撞上A点。则无人机从收到指令到撞上A点所用时间为(　　) A．3 s B．3 s C．4 s D．4 s 答案　C 解析　设无人机加速度沿水平方向和竖直方向的分量分别为ax、ay，无人机从收到指令到撞上A点所用时间为t，根据匀变速直线运动规律，水平方向有v0t－axt2＝0，竖直方向有h＝ayt2，又a＋a＝a2，其中h＝40 m，v0＝10 m/s，解得t＝4 s(t＝－4 s舍去)，故选C。 10．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求： (1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d； (2)M、N之间的距离L。 答案　(1)4.8 m　(2)12 m 解析　(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1＝vMsin72.8°① 设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得 mgcos17.2°＝ma1② 由运动学公式得d＝③ 联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④ (2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2＝vMcos72.8°⑤ 设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得 mgsin17.2°＝ma2⑥ 设腾空时间为t，由运动学公式得t＝⑦ L＝v2t＋a2t2⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。⑨ 9 学科网（北京）股份有限公司 $$