6.3 平面向量线性运算的应用 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

平面向量线性运算的应用 【学习目标】 1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题. 2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用. 【学习重难点】 用平面向量线性运算解决平面几何中的问题. 【学习过程】 1．用向量解决平面几何问题 【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O. （1）求AO∶OF与CO∶OE的值； （2）证明AF，BD，CE交于一点O. （1）解 因为＝＋＝＋， 又因为E，F都是中点，所以 ＋＝＋＝2＋2＝2. 另外，＝＋，所以＋＝2＋2. 设＝s，＝t， 则有s－t＝2＋2，即 (s－2)＝(t－2). 从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2， 因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1． （2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可. 由（1）可知，＝＋， ＝＋＝＋＝－ ＝－＝(＋)， 又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B， ∴B，O，D三点共线， 故AF，BD，CE交于一点. 【规律方法】利用向量线性运算解决几何问题的思路： （1）把几何元素化为向量； （2）进行向量的线性运算； （3）把结果翻译成几何问题. 2．用向量坐标解决平面几何问题 【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a). 设||＝λ(λ>0)， 则F，P， E. 所以＝， ＝， 因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2， ||2＝＋＝λ2－aλ＋a2， 所以||＝||，即PA＝EF. 【规律方法】用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键. 3．平面向量在物理中的应用 【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量) 解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0. 以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f. ∠ECW＝180°－150°＝30°， ∠FCW＝180°－120°＝60°， ∠FCE＝90°， ∴四边形CEWF为矩形. ∴||＝||cos 30°＝5， ||＝||cos 60°＝5． 即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N. 【规律方法】由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决. 【学习小结】 1．向量在平面几何中的应用 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题. 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 2．向量在物理中的应用 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成. （1）力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. （2）力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则. （3）动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律. 【精炼反馈】 1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( ) A．(9，1) B．(1，9) C．(9，0) D．(0，9) 解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)， 设合力f的终点为P(x，y)，则 ＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1). 答案 A 2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( ) A．8 B．4 C．2 D．1 解析 由||2＝16，得||＝4， |＋|＝|－|＝||＝4， 而|＋|＝2||，故||＝2，故选C． 答案 C 3．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________. 解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5． 答案 5 4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝. 求证：点E，O，F在同一直线上. 证明