第3节 随机事件与概率-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　随机事件与概率 课标解读 考向预测 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件的并、交运算. 4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式. 5.理解古典概型及其概率计算公式. 近几年的高考以考查随机事件的频率与概率、古典概型为主，其中古典概型常与排列组合知识交汇考查．预计2025年高考以上题型均可能出现，其中随机事件的频率与概率的题目以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及古典概型以选择题、填空题的形式出现，难度中档. 必备知识——强基础 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 3．事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 4.概率与频率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 7．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 1．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　) (2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　) (3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型．(　　) (4)若A∪B是必然事件，则事件A与B是对立事件．(　　) (5)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．小题热身 (1)(人教A必修第二册习题10.1 T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 答案　B 解析　由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3. (2)一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”．则在上述事件中，互斥而不对立的事件是(　　) A．A1与A2 B．A1与A3 C．A2与A3 D．以上都不对 答案　B 解析　射手进行射击时，事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1与A2互斥且对立，A不正确；事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1与A3互斥不对立，B正确；事件A2与A3可以同时发生，即事件A2与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确． (3)把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为(　　) A． B．1 C． D． 答案　C 解析　根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有A＝24种不同的排法，若语文书和英语书不相邻，其排法有AA＝12种，则语文书和英语书不相邻的概率P＝＝. 考点探究——提素养 考点一　随机事件(多考向探究) 考向1　随机事件的关系及运算 例1　(1)(2024·广东梅州中学月考)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”．则(　　) A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件 C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件 答案　D 解析　事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“两个黑匣子都不研究”；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D. (2)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是(　　) A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥 C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2) 答案　BC 解析　对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3⊆F，故C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故D不正确． 【通性通法】 事件关系判断的策略 判断事件的互斥、对立关系 一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 判断事件的交、并关系 一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件 【巩固迁移】 1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　) A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 答案　D 解析　对于A，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；对于B，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；对于C，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；对于D，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确． 考向2　随机事件的频率与概率 例2　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 【通性通法】 频率与概率的关系 区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 联系 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率 【巩固迁移】 2．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润． 解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96， 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96. 用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68元． 考点二　互斥事件与对立事件的概率 例3　(1)人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为(　　) A．0.31 B．0.48 C．0.65 D．0.69 答案　D 解析　若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为0.41＋0.28＝0.69. (2)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________． 答案　　 解析　记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝＝，则至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－＝. 【通性通法】 求互斥事件概率的一般方法 直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算 间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便 【巩固迁移】 3．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A∪B)＝0.5，则P(C)＝(　　) A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 答案　C 解析　由题意可知，P(A)＝＝0.2.因为A与B互斥且P(A∪B)＝0.5，所以P(B)＝0.3.又因为随机事件C与B对立，所以P(C)＝1－0.3＝0.7. 4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　由题意可知 即即解得＜a≤.故实数a的取值范围为. 考点三　古典概型 例4　(1)(2024·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　大于3且不超过20的素数为5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5，7)，(11，13)，(17，19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为＝. (2)已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0，且m与n的方向不同，即m·n＝(a，b)·(1，1)＝a＋b>0，且a≠b，则满足条件的向量m有(－1，2)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，共4种，又m的取法共有4×4＝16种，则向量m与n所成的角为锐角的概率是＝. (3)已知m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________． 答案　 解析　方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0，有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共6种，在题设条件下，方程有A＝12种，所以所求概率为P＝＝. 【通性通法】 公式法求解古典概型问题的步骤 【巩固迁移】 5．将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　分配方案的总数为CA，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CA种，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P＝＝. 6．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 答案　 解析　从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C＝70种取法，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12种取法，故所求概率P＝＝＝. 7．已知函数y＝x2，集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，现从A中任意取出若干个元素组成函数y＝x2的定义域D，则函数y＝x2的值域为{1，4}的概率为________． 答案　 解析　易知集合A的非空子集有27－1＝127个，即样本点的总数为127，记“函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M，“D中含有2个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M1，“D中含有3个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M2，“D中含有4个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M3，易知M1＋M2＋M3＝M，则M1中含有的样本点为(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，共4个；M2中含有的样本点为(－1，－2，1)，(－1，－2，2)，(－2，1，2)，(－1，1，2)，共4个；M3中含有的样本点为(－2，－1，1，2)，只有1个．所以P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝＋＋＝. 考点四　古典概型与统计的交汇问题 例5　为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表： 新药 疲乏症状 合计 无疲乏症状 有疲乏症状 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 合计 225 m 275 (1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否判断有无疲乏症状与是否使用该新药有关？ (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175， 零假设为H0：有无疲乏症状与是否使用该新药无关． 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝≈4.911＞3.841＝x0.05. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有无疲乏症状与是否使用该新药有关． (2)从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为＝，则抽取有疲乏症状的人数为×25＝1，无疲乏症状的人数为3， 记“这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件M，于是P(M)＝＝，所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是. 【通性通法】 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题． 【巩固迁移】 8．为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b. (1)求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数) (2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率． 解　(1)依题意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03， 又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006， 所以中位数为70＋≈75.14. (2)依题意，知分数在[50，60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70)的员工抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6， 所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28种， 其中满足条件的有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13种， 设“至少有1人的分数在[50，60)”为事件A，则P(A)＝. 课时作业 一、单项选择题 1．抛掷一枚骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的点数是1或2或3 答案　C 解析　由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 2．从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，且＝A∪B.因为A，B，C两两互斥，所以P(C)＝1－P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－－＝.故选C. 3．(2023·广东东莞模拟)在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17，随机选取两个不同的数有C＝21种，和等于16的有3＋13＝16，5＋11＝16，共2种，所以和等于16的概率是. 4．《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双璧，三十六计共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　从这36个计策中任取2个计策，基本事件总数n＝C＝630，这2个计策都来自同一套包含的基本事件的个数m＝6C＝90，则这2个计策都来自同一套的概率为P＝＝＝.故选C. 5．设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.但P(A)＋P(B)＝1，A，B不一定是对立事件，如投掷一枚硬币3次，事件A＝“至少出现一次正面”，事件B＝“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．故甲是乙的充分不必要条件． 6．(2024·海南华侨中学模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有CA＝6×2＝12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A＝2种可能．所以甲、乙两人安排在同一个舱内的概率P＝＝.则甲、乙两人安排在不同舱内的概率P＝1－＝. 7．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，所以样本点总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4种．所以函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是. 8．(2024·“西南汇”联考)已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号．为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二．问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计，有972人回答“否”，其余人回答“是”．则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为(　　) A．8 B．20 C．148 D．247 答案　B 解析　根据题意，回答问题一的学生约有1400×＝840人，回答问题二的学生约有1400×＝560人，840人中约有420人回答“否”，则560人中约有972－420＝552人回答“否”，8人回答“是”，则问题二回答“是”的人数约占，该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为1400×＝20. 二、多项选择题 9．包含甲、乙的若干人站成一排，其中不是互斥事件的是(　　) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案　BCD 解析　排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD. 10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示： 所需时间(分钟) 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一 D．若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 答案　BD 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，故A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，故B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应选线路二，故C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，故D正确．故选BD. 三、填空题 11．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A∪发生的概率为________． 答案　 解析　抛掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P()＝1－P(B)＝1－＝，因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝. 12．北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为________． 答案　 解析　因为玉衡和天权都没有被选中的概率为P＝＝，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1－＝. 13．(2024·湖南名校联考)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动．现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为________． 答案　 解析　根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一种活动，有CCA种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为＝. 14．(2023·石家庄二中模拟)数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数．水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150，160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合{147，152，154，157，“水仙四妹”}的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是________． 答案　 解析　设“水仙四妹”为150＋x且0<x<10，x∈Z，依题意，知13＋53＋x3＝150＋x，即有(x－1)x(x＋1)＝24，可得x＝3，即“水仙四妹”为153，所以集合为{147，152，153，154，157}，从该集合中任取3个元素，该试验的样本空间Ω＝{(147，152，153)，(147，152，154)，(147，152，157)，(147，153，154)，(147，153，157)，(147，154，157)，(152，153，154)，(152，153，157)，(152，154，157)，(153，154，157)}，共有10个样本点．记事件A表示“取出的3个整数中含有153，且其余两个整数至少有一个比153小”，则事件A包含的样本点有(147，152，153)，(147，153，154)，(147，153，157)，(152，153，154)，(152，153，157)，共5个，故P(A)＝＝. 四、解答题 15．某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值m m＜185 185≤m＜205 m≥205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？ (2)在样本中，按产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率． 解　(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为 0．200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875， 由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”． (2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375，0.5和0.125， 故在样本中，一等品有3件，二等品有4件，三等品有1件； 再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种： ①一等品2件，二等品1件，三等品1件； ②一等品1件，二等品2件，三等品1件， 故所求的概率为P＝＝. 16．(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 答案　C 解析　对于A，B，两事件能同时发生，不是互斥事件，故A，B错误；对于C，“至少取到1个红球”的概率P＝＝0.9，“至少取到1个蓝球”的概率P＝＝0.7，故C正确；对于D，“至多取到1个红球”的概率P＝＝0.7，“至多取到1个蓝球”的概率P＝＝0.9，故D错误． 17．将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次，使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　对于a与b各有6种情形，故总数为36种．两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，所以P1＝＝；两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝＝，因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，所以＋＜，解得－＜m＜.故实数m的取值范围是. 18．随着第二轮企业出海潮的到来，某品牌手机公司积极拓展海外市场，在海外共设了30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按比例分配的分层随机抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了200位，得到数据如下表： 愿意被外派 不愿意被外派 合计 80后 40 40 80 90后 80 40 120 合计 120 80 200 (1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断是否愿意被外派与年龄是否有关，并说明理由； (2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求x>y的概率． 参考数据： α 0.10 0.05 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解　(1)零假设为H0：是否愿意被外派与年龄无关． 根据2×2列联表及参考公式可得 χ2＝ ＝ ＝＝≈5.556<6.635， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为是否愿意被外派与年龄无关． (2)“x>y”包含“x＝2，y＝1”“x＝3，y＝1”“x＝3，y＝2”三个互斥事件， 因为P(x＝2，y＝1)＝×＝， P(x＝3，y＝1)＝×＝， P(x＝3，y＝2)＝×＝， 所以P(x>y)＝＝. 22 学科网（北京）股份有限公司 $$