第2节 二项式定理-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　二项式定理 课标解读 考向预测 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 近几年的高考中考查了二项展开式的通项的应用、二项式定理的正用和逆用，二项式系数的性质与各项的和．预计2025年高考可能会以二项式、三项式或两因式乘积的形式呈现，考查特定项或特定项的系数，难度中档. 必备知识——强基础 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n． (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． (a＋b)n的展开式形式上的特点： (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从C，C，一直到C，C. (5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，还与a，b的值有关． (6)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (3)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数一定不同．(　　) (4)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b的值无关．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．C B．－C C．C D．－C 答案　D 解析　T6＝Cx5(－1)5，所以第6项的系数是－C. (2)(人教B选择性必修第二册习题3－3A T2改编)的展开式中，x2的系数为(　　) A．－45 B．－10 C．10 D．45 答案　D 解析　的展开式的通项为Tk＋1＝C·(－)k＝(－1)kCx，令k－10＝2，解得k＝8，所以x2的系数为(－1)8C＝45. (3)(多选)(2024·江苏南京宁海中学模拟)关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为－20 D．系数最大的项为第3项 答案　BC 解析　所有项的二项式系数和为26＝64，故A错误；令x＝1得所有项的系数和为0，故B正确；常数项为Cx3＝－20，故C正确；Tk＋1＝Cx6－k，系数为(－1)kC，最大为C或C，为第3项或第5项，故D错误． (4)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．31 B．32 C．15 D．16 答案　A 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31. 考点探究——提素养 考点一　二项展开式的通项及其应用(多考向探究) 考向1　求二项展开式中的特定项(或系数) 例1　(1)二项式的展开式中的常数项是(　　) A．－45 B．－10 C．45 D．65 答案　C 解析　由二项式定理得Tk＋1＝C·(－x2)k＝(－1)kCx，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45. (2)(2023·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________． 答案　60 解析　解法一：二项式展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－kCx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 解法二：将二项式看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－，相乘，即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系数为60. 【通性通法】 求二项展开式中特定项的步骤 【巩固迁移】 1．(2023·江苏无锡江阴模拟)二项式(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展开式中，含x2项的二项式系数为(　　) A．84 B．56 C．35 D．21 答案　B 解析　含x2项的二项式系数为C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝56. 2．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 答案　16　5 解析　由题意，得(＋x)9的通项为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0，1，2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个． 考向2　已知两个因式之积求其特定项 (或系数) 例2　(1)(2024·湖南益阳质量检测)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，则a2的值为(　　) A．－20 B．20 C．40 D．60 答案　B 解析　因为(1＋2x)(1－2x)5＝(1－2x)5＋2x(1－2x)5，所以展开式中x2的系数a2＝C(－2)2＋2×C(－2)1＝40－20＝20. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案　－28 解析　展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6. 【通性通法】 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题． 【巩固迁移】 3．(2024·湖南名校大联考)(x3＋2)的展开式中的常数项为(　　) A．80 B．160 C．240 D．320 答案　D 解析　(x3＋2)＝x3·＋2，展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k·＝C·26－k·(－1)k·x6－3k，当6－3k＝－3时，k＝3，当6－3k＝0时，k＝2，则原展开式中的常数项为x3·C23(－1)3x－3＋2C24(－1)2＝－160＋480＝320. 考向3　已知三项式求其特定项(或系数) 例3　(1)(2023·佛山模拟)(x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为(　　) A．80 B．40 C．－80 D．－40 答案　D 解析　(x－y＋2)5＝[x－(y－2)]5的展开式中含x3的项为Cx3(y－2)2，(y－2)2的展开式中含y的项为Cy(－2)，所以(x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为CC(－2)＝－40. (2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 答案　30 解析　解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2，其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30. 解法二：(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)之积．所以x5y2可从两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余两个取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 【通性通法】 求三项展开式中特定项(系数)的方法 【巩固迁移】 4.的展开式中常数项为(　　) A．－61 B．－59 C．－57 D．－55 答案　B 解析　将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项为C＋CC(－2)＋CC(－2)2＝－59. 考点二　二项式系数与各项的系数和问题 例4　(1)(多选)(2024·盐城调研)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为－135 D．常数项为135 答案　ABD 解析　在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)6－k·＝C(－1)k36－k·x6－k，令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝C(－1)4·32＝135，故D正确． (2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 答案　B 解析　令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B. 【通性通法】 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【巩固迁移】 5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　) A．－960 B．960 C．1120 D．1680 答案　C 解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C. 6．已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________． 答案　－2 解析　记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2. 考点三　二项展开式中的系数最值问题 例5　(2023·江苏南京模拟)若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为________． 答案　[2，3] 解析　2n＝512，n＝9，T6＝C24(ax)5，T5＝C25(ax)4，T7＝C23(ax)6，∵第6项的系数最大，∴则2≤a≤3.故a的取值范围为[2，3]． 【通性通法】 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. 2．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用注意解出k后要检验首末两项． 【巩固迁移】 7．(多选)(2024·唐山模拟)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　) A．常数项为－160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 答案　ACD 解析　展开式的通项为Tk＋1＝C·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；对于B，由通项知，若要系数最大，k的所有可能取值为0，2，4，6，∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确． 考点四　二项式定理的综合应用 例6　(1)(2023·湖北荆州中学模拟)已知m>0，且152024＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　　) A．1 B．12 C．7 D．27 答案　D 解析　∵152024＋m＝(1＋14)2024＋m＝1＋C141＋C142＋C143＋…＋C142024＋m，故若152024＋m恰能被14整除，只需要1＋m能被14整除即可，又m>0，∴m的取值可以是13，27等．故选D. (2)(2024·广东佛山模拟)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20 答案　B 解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.故选B. 【通性通法】 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【巩固迁移】 8．(2023·四川绵阳中学模拟)2424被5除的余数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由题意可知，2424＝(25－1)24，则其展开式的通项为Tk＋1＝C·2524－k·(－1)k(k＝0，1，2，…，24)，由通项可得，只有k＝24时，T25＝C×250×(－1)24＝1不能被5整除，其余项均能被5整除．故2424被5除的余数为1.故选A. 9．(2024·湖南长沙一中阶段考试)估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的结果，精确到0.01的近似值为(　　) A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 答案　A 解析　原式＝(1＋0.998)5－1＝(2－0.002)5－1＝C25－C24×0.002＋C23×0.0022－…－C×0.0025－1≈32－0.16－1＝30.84.故选A. 课时作业 一、单项选择题 1．(2023·北京高考)的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 答案　D 解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×C＝80.故选D. 2．(2023·云南昆明一中模拟)若(1＋2x)3(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a0＋a2＋a4＋a6＝(　　) A．27 B．－27 C．54 D．－54 答案　B 解析　(1＋2x)3(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1＋2)3(1－2)4＝27，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a7＝(1－2)3(－1－2)4＝－81，两式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－54，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－27.故选B. 3．(2024·武汉部分重点中学联考)在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　) A． B．－ C．－28 D．28 答案　B 解析　展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，展开式的通项为Tk＋1＝C＝C(－1)k·x12－k，若为常数项，则12－k＝0，所以k＝9，得常数项为T10＝C(－1)9·＝－＝－. 4.的展开式中，x3项的系数为(　　) A．5 B．－5 C．15 D．－15 答案　B 解析　＝(1＋x－1－x)5，(1＋x－1－x)5表示5个(1＋x－1－x)相乘，展开式中出现x3有两种情况，第一种是(1＋x－1－x)5中选出3个－x和2个1，第二种是(1＋x－1－x)5中选出4个－x和1个x－1，所以展开式中含有x3的项为C(－x)3×12＋C(－x)4·(x－1)1＝－10x3＋5x3＝－5x3，所以x3项的系数为－5. 5．(2023·河北邯郸模拟)5050＋9被7除的余数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　5050＝(49＋1)50＝4950＋C·4949＋C·4948＋…＋C·49＋1，展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以5050＋9被7除的余数等于1＋9＝10被7除的余数，结果为3.故选D. 6．利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 答案　D 解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34. 7．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2024＝(　　) A．0 B．－2 C．－1＋i D．－1－i 答案　A 解析　因为x＝＝＝－1＋i，所以Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋C·x2024＝(1＋x)2024－1＝i2024－1＝1－1＝0. 8．已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 答案　B 解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项系数的和为A，偶次项系数的和为B，则A＝a1＋a3＋a5＋a7＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数的性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.故选B. 二、多项选择题 9．在二项式的展开式中，有(　　) A．含x的项 B．含的项 C．含x4的项 D．含的项 答案　ABC 解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，结合所给的选项，知A，B，C的项都含有． 10．(2024·湖北四校联考)已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．第4项和第5项的二项式系数最大 D．有理项共3项 答案　ABC 解析　由题知n＝7，则Tk＋1＝C(2x)7－k·＝(－1)k27－kCx，所有项的二项式系数和为27＝128，A正确；令x＝1，得所有项的系数和为(2－1)7＝1，B正确；对于二项式系数C，显然第4，5项对应的二项式系数C＝C最大，C正确；有理项为7－∈Z时，即k＝0，2，4，6，共4项，D错误． 11．(2023·江苏镇江考前模拟)若(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，则下列结论正确的是(　　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝1 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝ C．＋＋…＋＝0 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＝4048 答案　ABD 解析　令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝(－1)2024＝1　①，故A正确；令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024＝32024　②，①＋②可得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2024)＝1＋32024，故a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝，故B正确；令x＝0可得a0＝12024＝1　③，令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0　④，把③代入④，可得＋＋…＋＝－1，故C错误；两边对x求导得－4048(1－2x)2023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2024a2024x2023.令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＝4048，故D正确． 三、填空题 12．(2022·天津高考)的展开式中的常数项为________． 答案　15 解析　的展开式的通项为Tk＋1＝C·()5－k·＝C·3k·x，令＝0，得k＝1，则C·3k＝C·3＝15，所以的展开式中的常数项为15. 13．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________． 答案　1120x4　1792x5和1792x6 解析　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C·25＝C·26，得n＝8，∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1120x4，设第k＋1项系数最大，则有解得5≤k≤6.又k∈N*，∴k＝5或k＝6，又C20<1792，C28<1792，∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6. 14．(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 答案　8　－2 解析　含x2的项为x·Cx(－1)3＋2·Cx2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8.令x＝0，即2＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 15．(多选)(2024·江西名校联合测评)为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动．活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p行第q个数记为ap，q(p，q∈N*)，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第n条斜线上所有数字之和为Sn(S1＝S2＝1，S3＝2)，入场码由两段数字组成，前段的数字是a4，i104－i的值，后段的数字是S2023－Si的值，则(　　) A．a2023，2＝2023 B．a4，i104－i＝1331 C．S9＝34 D．该景点的入场码为13311 答案　BCD 解析　由题意得ap，q＝C，对于A，a2023，2即为第2023行第2个数，则a2023，2＝C＝2022，故A错误；对于B，(10＋x)3展开式的通项为Tk＋1＝C103－kxk(k＝0，1，2，3)，其中C＝a4，1，C＝a4，2，C＝a4，3，C＝a4，4，所以a4，i104－i＝C·103＋C·102＋C·101＋C·100＝(10＋1)3＝1331，故B正确；对于C，S1＝S2＝1，S3＝2，S4＝3，S5＝5，…，归纳可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn，即Sn＋2＝Sn＋1＋Sn，所以S6＝S5＋S4＝5＋3＝8，S7＝S6＋S5＝8＋5＝13，S8＝S7＋S6＝13＋8＝21，S9＝S8＋S7＝21＋13＝34，故C正确；对于D，Si＝S3－S2＋S4－S3＋S5－S4＋…＋S2023－S2022＝S2023－S2，故S2023－Si＝1，该景点的入场码为13311，故D正确．故选BCD. 16．(多选)(2024·广东阳江适应性考试)下列关于排列数与组合数的等式或说法正确的是(　　) A．C＋C＋C＋…＋C＝330 B．已知n>m，则等式＝对任意正整数n，m都成立 C．设x＝A×，则x的个位数字是6 D．等式(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C对任意正整数n都成立 答案　ABD 解析　对于A，由C＋C＝C可知，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝330，A正确；对于B，若n>m，则＝＝＝，B正确；对于C，∵＝＝－＝－，n≥3，n∈N*，则＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，故x＝A×＝A×＝－1，∵＝＝45×89！，其个位数字是0，故x＝－1的个位数字是9，C错误；对于D，∵(1＋x)n展开式的通项为Tk＋1＝C·1n－k·xk＝C·xk，k＝0，1，2，…，n，∴(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxn，故(x＋1)n·(x＋1)n展开式的xn的系数为CC＋CC＋…＋CC，又C＝C，则CC＋CC＋…＋CC＝(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2，同理可得(1＋x)2n展开式的通项为Tr＋1＝C·12n－r·xr＝C·xr，r＝0，1，2，…，2n，即展开式的xn的系数为C，由于(x＋1)n(x＋1)n＝(1＋x)2n，故(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C，D正确．故选ABD. 17．(2024·浙江能力诊断测试)若(x2－x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 答案　－46 解析　由题意，(x2－x－3)5中含x的项为C(－x)1(－3)4＝－405x；含x2的项为C(－x)2(－3)3＋C(x2)1(－3)4＝135x2；含x3的项为C(x2)1C(－x)1(－3)3＋C(－x)3(－3)2＝450x3；含x4的项为C(x2)2(－3)3＋C(x2)1C(－x)2(－3)2＋C(－x)4(－3)1＝－15x4；含x5的项为C(x2)2C(－x)1(－3)2＋C(x2)1C(－x)3·(－3)1＋C(－x)5＝－211x5.故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－405＋135＋450－15－211＝－46. 18．(2024·山西省际名校联考二)杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数C都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是________；若Sn＝＋＋＋＋…＋＋(n≥3)，则Sn＝________(用含n的代数式作答)． 答案　　－ 解析　由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数C都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以n＝8，r＝4，所以第8行第5个数为＝.由“莱布尼茨三角形”的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，∵＋＝，＋＝， ＋＝，…，＋＝，＋＝，将上述各式相加，得＋＋＋…＋＋＝，∴＋Sn＝，Sn＝－. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$