第3节 第2课时 列联表与独立性检验-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第2课时　列联表与独立性检验 课标解读 考向预测 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 预计2025年高考列联表、独立性检验可能会以实际问题为背景，与概率、随机变量的分布列及数字特征相结合命题，难度适中. 必备知识——强基础 1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 2．2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值均为0，1，其2×2列联表为 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 3．独立性检验 (1)零假设：以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)．通常称H0为零假设或原假设． (2)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝. (3)临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得后面关系成立：P(χ2≥xα)＝α.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可以作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大． (4)基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． (5)应用独立性检验解决实际问题的主要环节 ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； ③根据检验规则得出推断结论； ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两分类变量有关的把握越大． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(　　) (2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联．(　　) (3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(　　) (4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．小题热身 (1)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习A T2改编)为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 男 女 合计 爱好 a b 73 不爱好 c 25 合计 74 则a－b－c＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9. (2)在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X，Y之间有无关系的是(　　) y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d A． B． C． D． 答案　D 解析　∵χ2＝，则分类变量X和Y有关系时，ad与bc差距会比较大，由－＝＝，故与的值相差应该大，即的大小可以判断X，Y之间有无关系． (3)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关． 答案　0.01 解析　因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关． 考点探究——提素养 考点一　分类变量的两种统计表示形式(多考向探究) 考向1　等高堆积条形图 例1　(2023·四川南充三诊)为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高堆积条形图，根据图中信息，下列说法最佳的是(　　) A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果 D．药物A，B对该疾病均没有预防效果 答案　B 解析　根据题干中两个等高堆积条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果． 【通性通法】 在等高堆积条形图中，与相差越大，我们认为两个分类变量之间关系越强． 【巩固迁移】 1．(多选)现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是(　　) A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱两理一文 D．样本中的女生偏爱两文一理 答案　ABC 解析　由等高堆积条形图知，女生数量多于男生数量，故A正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；男生偏爱两理一文，故C正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误．故选ABC. 考向2　2×2列联表 例2　(1)下面是一个2×2列联表，则表中a，c处的值分别为(　　) X Y 合计 y1 y2 x1 a 25 73 x2 21 b c 合计 d 49 A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48 答案　C 解析　由2×2列联表知a＋25＝73，b＋25＝49，b＋21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.故选C. (2)假设两个分类变量X和Y的2×2列联表如下： X Y 合计 y1 y2 x1 a 10 a＋10 x2 c 30 c＋30 合计 a＋c 40 100 对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是(　　) A．a＝40，c＝20 B．a＝45，c＝15 C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30 答案　B 解析　χ2＝＝n·，根据2×2列联表和独立性检验的相关知识，知当b，d一定时，a，c相差越大，与相差就越大，χ2就越大，即X和Y有关系的可能性越大，结合选项，知B中a－c＝30与其他选项相比相差最大． 【通性通法】 在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强． 【巩固迁移】 2．(多选)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 班级 数学成绩 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．c＝30，b＝35 B．c＝15，b＝50 C．c＝20，b＝45 D．由列联表可看出数学成绩与班级有关系 答案　CD 解析　依题意＝，解得c＝20，由10＋20＋b＋30＝105，解得b＝45.补全2×2列联表如下： 班级 数学成绩 合计 优秀 非优秀 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 甲班学生数学成绩的优秀率为≈0.182，乙班学生数学成绩的优秀率为＝0.4，乙班学生数学成绩的优秀率明显高于甲班学生数学成绩的优秀率，可以认为两班学生的数学成绩优秀率存在差异，所以数学成绩与班级有关．故选CD. 考点二　独立性检验的应用 例3　(2024·山西太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表： SO2的浓度 空气质量等级 [0，50] (50，150] (150，475] 1(优) 28 6 2 2(良) 5 7 8 3(轻度污染) 3 8 9 4(中度污染) 1 12 11 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题： (1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率； (2)完成下面的2×2列联表； SO2的浓度 空气质量 [0，150] (150，475] 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 (3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？ 解　(1)由表格可知，该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150的天数为28＋6＋5＋7＝46，则“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率P＝＝0.46. (2)由表格数据可得列联表如下， SO2的浓度 空气质量 [0，150] (150，475] 合计 空气质量好 46 10 56 空气质量不好 24 20 44 合计 70 30 100 (3)零假设为H0：该市一天的空气质量与当天SO2的浓度无关． 由(2)知χ2＝≈8.936>6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 【通性通法】 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式χ2＝计算； (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断． 【巩固迁移】 3．(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 解　(1)根据表中数据，A家公司共有班次260次，其中准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M， 则P(M)＝＝； B家公司共有班次240次，其中准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N， 则P(N)＝＝. 故A家公司长途客车准点的概率为，B家公司长途客车准点的概率为. (2)由题可得χ2＝ ≈3.205＞2.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 课时作业 一、单项选择题 1．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　) y1 y2 合计 x1 a 8 35 x2 11 34 45 合计 b 42 80 A．27，38 B．28，38 C．27，37 D．28，37 答案　A 解析　a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38. 2．某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知P(χ2≥6.635)＝0.010，则下列判断正确的是(　　) A．每100名数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010 C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关” D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关” 答案　D 解析　∵χ2＝6.748>6.635，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”．故选D. 3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 10 18 28 x2 m 26 m＋26 合计 m＋10 44 m＋54 则当整数m取________时，X与Y的关系最弱．(　　) A．8 B．9 C．14 D．19 答案　C 解析　在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱． 4．(2024·海南华侨中学模拟)某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 A．90% B．95% C．99% D．99.9% 答案　C 解析　根据列联表中数据，计算χ2＝＝10＞6.635，可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为99%.故选C. 5．为了考查某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2×2列联表： 感染 未感染 合计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 合计 30 70 100 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 根据以上数据，得到的结论正确的是(　　) A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” C．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” D．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗无关” 答案　C 解析　依题意，χ2＝＝≈4.762，显然有3.841<4.762<5.024<6.635，所以有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关”，A，B，D不正确，C正确． 6．假设有两个变量x与y的2×2列联表如下： y1 y2 x1 a b x2 c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为(　　) A．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50 B．a＝50，b＝30，c＝30，d＝40 C．a＝30，b＝60，c＝20，d＝50 D．a＝50，b＝30，c＝40，d＝30 答案　B 解析　对于A，|ad－bc|＝200；对于B，|ad－bc|＝1100；对于C，|ad－bc|＝300；对于D，|ad－bc|＝300，显然B中|ad－bc|最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大． 7．为了解某社区60岁以上老年人使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分居民作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是(　　) A．样本中多数男性喜欢手机支付 B．样本中的女性数量少于男性数量 C．样本中多数女性喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 答案　C 解析　对于A，由题中右图可知，样本中多数男性喜欢手机支付，A正确；对于B，由题中左图可知，样本中的男性数量多于女性数量，B正确；对于C，由题中右图可知，样本中多数女性喜欢手机支付，C不正确；对于D，由题中右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D正确．故选C. 8．针对短视频热，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m(m∈N*)，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为(　　) 附：χ2＝. α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　根据题意，不妨设a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2＝＝＝，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知≥3.841，解得m≥8.0661，于是m的最小值为9. 二、多项选择题 9．(2024·福建福州一中模拟)“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到χ2的观测值为9. 认可 不认可 40岁以下 20 20 40岁以上(含40岁) 40 10 已知P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001，则下列判断正确的是(　　) A．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动” B．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动” C．有99%的把握认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关 答案　AC 解析　∵χ2的观测值为9，且P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001，又9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关，故C正确，D错误；由表可知，认可“光盘行动”的人数为60，∴在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为×100%≈66.7%，故A正确，B错误．故选AC. 10．为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 幸福感强 幸福感弱 合计 阅读量多 m 18 72 阅读量少 36 n 78 合计 90 60 150 计算得χ2≈12.981，参照下表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是(　　) A．根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关” B．m＝54 C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” D．n＝52 答案　BC 解析　∵χ2≈12.981>7.879>6.635，∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错误，C正确；∵m＋36＝90，18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B正确，D错误．故选BC. 三、填空题 11．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生(其中男生60名，女生40名)，并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为________． 答案　68 解析　这100名学生中经常锻炼的人数为60×0.8＋40×0.5＝68. 12．长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下2×2列联表(单位：份)，其中40≤a≤50且a∈N*. 注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一．根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三个级别，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差． A级或B级 C级 合计 甲地 a 50－a 50 乙地 80－a a－30 50 合计 80 20 100 当a＝a0时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则a0的最小值为________． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 答案　46 解析　依题意，χ2≥6.635，即 100×≥6.635， (10a－400)2≥2654，由于40≤a≤50且a∈N*，所以10a－400≥ ，a≥40＋，因为45<40＋<46，所以a0的最小值为46. 四、解答题 13．某城市地铁将于2024年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下： 月收入(单位：百元) [15，25) [25，35) [35，45) 赞成定价者人数 1 2 3 认为价格偏高者人数 4 8 12 月收入(单位：百元) [45，55) [55，65) [65，75] 赞成定价者人数 5 3 4 认为价格偏高者人数 5 2 1 (1)若以区间的中点值作为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距(结果保留两位小数)； (2)由以上统计数据列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解　(1)“赞成定价者”的月平均收入为x1＝ ≈50.56. “认为价格偏高者”的月平均收入为x2＝ ＝38.75， ∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2≈50.56－38.75＝11.81(百元)． (2)根据条件可得2×2列联表如下： 对地铁定价的态度 月收入 合计 不低于55百元的人数 低于55百元的人数 认为价格偏高者 3 29 32 赞成定价者 7 11 18 合计 10 40 50 零假设为H0：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异． χ2＝≈6.27＜6.635＝x0.01， ∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异”． 14．(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1 32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　 9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2 19.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； ＜m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝， α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 解　(1)试验组的样本平均数为 ×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝＝19.8. (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数，第20位数据为23.2，第21位数据为23.6， 所以m＝＝23.4， 故列联表为 ＜m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 (ⅱ)由(ⅰ)可得，χ2＝＝6.4＞3.841， 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$