第4节 复数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第四节　复数 课标解读 考向预测 1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分. 必备知识——强基础 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 5．复数z的方程在复平面内表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环． (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　　) (2)复数可以比较大小．(　　) (3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)(2023·全国甲卷)＝(　　) A．－1 B．1 C．1－i D．1＋i 答案　C 解析　＝＝1－i.故选C. (2)(人教A必修第二册习题7.2 T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案　D 解析　∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i.故选D. (3)若a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝________． 答案　1 解析　由＝＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1. (4)(人教B必修第四册习题10－1A T2改编)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限． 答案　0　二 解析　由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得解得所以a＋b＝0，z＝－1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限． 考点探究——提素养 考点一　复数的有关概念 例1 (1)(2023·苏州期末)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　∵(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i＋a＝1＋a＋(a－1)i为纯虚数，∴1＋a＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.故选A. (2)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则的实部为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　C 解析　由题意，得z＝＝＝＝2－i，所以＝2＋i，故的实部为2.故选C. 【通性通法】 解决复数概念问题的两个注意事项 【巩固迁移】 1．(2024·衡水中学模拟)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　) A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i 答案　B 解析　由＝1－yi，得＝1－yi，即－i＝1－yi，∴解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.故选B. 2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________． 答案　－4 解析　z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故复数z的实部与虚部之和是7－11＝－4. 考点二　复数的运算 例2 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案　A 解析　因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i.故选A. (2)若复数z满足＝i，则z2＝________，|z|＝________． 答案　－2i　 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝i，a＋(b－1)i＝i·[(a＋1)＋bi]＝－b＋(a＋1)i，所以解得所以z＝－1＋i，故z2＝(－1＋i)2＝－2i，|z|＝＝. 【通性通法】 复数代数形式运算的策略 【巩固迁移】 3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 答案　D 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D. 4．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 答案　B 解析　由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B. 考点三　复数的几何意义 例3 (1)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　) A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i 答案　D 解析　由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D. (2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则下列结论正确的是(　　) A．复数z1的虚部为i B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 C．|z1－z2|的最大值为＋2 D．|z1＋z2|的最小值为－2 答案　BC 解析　由z1＝－2＋i知，虚部为1，故A错误；因为|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则|(x－1)＋(y＋1)i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故B正确；由题意知，点B在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB|＝|z1－z2|，所以|z1－z2|max＝＋2＝＋2，故C正确；|z1＋z2|＝|(－2＋x)＋(1＋y)i|＝表示点B与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z1＋z2|min＝2－＝1，故D错误．故选BC. 【通性通法】 复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【巩固迁移】 5．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　＝＝＋i的共轭复数为－i，对应点为，在第四象限．故选D. 6．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点的距离的最大值是(　　) A．1 B． C． D．3 答案　D 解析　由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3.故选D. 课时作业 一、单项选择题 1．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a∈R)为纯虚数，等价于即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．故选A. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A. 3．(2024·长春模拟)若复数z的共轭复数为，且满足·(1＋2i)＝1－i，则复数z的虚部为(　　) A． B．－i C．i D．－ 答案　A 解析　·(1＋2i)＝1－i，∴＝＝＝＝－－i，∴z＝－＋i，∴复数z的虚部为.故选A. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　因为i(1－z)＝1，两边同乘以i，则原式变为i2(1－z)＝i，即－1＋z＝i，z＝1＋i，那么＝1－i，则z＋＝1＋i＋1－i＝2.故选D. 5．若复数z满足(1＋i)·z＝2－4i，则||＝(　　) A．10 B． C．20 D．2 答案　B 解析　z＝＝＝＝－1－3i，所以||＝|－1＋3i|＝＝.故选B. 6．设是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，则＝(　　) A．－1＋i B．－－ C．－ D．－＋ 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2＝(a＋2)＋bi，＋2i＝a＋(2－b)i，因为复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－1＋i，＝＝＝＝－－.故选B. 7．已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为(　　) A．1 B．－1 C． D．＋1 答案　B 解析　令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z|的最小值为－1.故选B. 8．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝－ C．b＝－2，c＝－ D．b＝－2，c＝3 答案　D 解析　方程的根为x＝＝－±，1＋i为其中一个复数根，则有解得故选D. 二、多项选择题 9．(2023·苏州模拟)若复数z满足(1＋i)z＝5＋3i(其中i是虚数单位)，则(　　) A．z的虚部为－i B．z的模为 C．z的共轭复数为4－i D．z在复平面内对应的点位于第四象限 答案　BD 解析　由(1＋i)z＝5＋3i，得z＝＝＝＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为＝，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D正确．故选BD. 10．(2024·湖北襄阳一中阶段考试)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 答案　BC 解析　由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确；令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误．故选BC. 11．欧拉公式exi＝cosx＋isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法正确的是(　　) A．复数e2i对应的点位于第二象限 B．e为纯虚数 C．复数的模等于 D．e的共轭复数为－i 答案　ABC 解析　对于A，e2i＝cos2＋isin2，因为<2<π，即cos2<0，sin2>0，所以复数e2i对应的点位于第二象限，A正确；对于B，e＝cos＋isin＝i，e为纯虚数，B正确；对于C，＝＝＝＋i，于是得 ＝＝，C正确；对于D，e＝cos＋isin＝＋i，其共轭复数为－i，D不正确．故选ABC. 三、填空题 12．已知i为虚数单位，若复数z＝，则|iz|＝________． 答案　 解析　解法一：iz＝＝＝＝＝2＋i，所以|iz|＝＝. 解法二：|iz|＝|i||z|＝1×＝＝＝＝. 13．已知i为虚数单位，若|z|2＋(z＋)i＝1－i且复数z对应的点在第三象限，则复数z的虚部为________． 答案　－ 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|2＋(z＋)i＝1－i可得a2＋b2＋2ai＝1－i，所以解得或又因为复数z对应的点在第三象限，所以z＝－－i，故复数z的虚部为－. 14．设复数z＝＋，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为________． 答案　{－2，0，2} 解析　z＝in＋(－i)n，i为虚数单位，n∈N，当n＝4k(k∈N)时，z＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，z＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，z＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，z＝0.综上所述，由z的所有可能取值构成的集合为{－2，0，2}． 15.(2024·河南郑州外国语学校期中)如图，已知复数z在复平面内所对应的向量是，图中每个小正方形网格的边长均为1，则＝(　　) A．1＋2i B．1＋3i C．3＋i D．2＋i 答案　D 解析　由题图可知＝－＝(4，2)－(1，1)＝(3，1)，即z＝3＋i，所以＝3－i，故＝＝＝2＋i.故选D. 16. (多选)(2024·广东东莞实验中学质检)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(　　) A．复数z虚部的最大值为2 B．复数z实部的取值范围是[－2，4] C．|z＋1＋i|的最小值为1 D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限 答案　ABC 解析　满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图．由图可知，虚部最大的复数为z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，A正确；实部最小的复数为z＝－2－i，实部最大的复数为z＝4－i，所以复数z实部的取值范围是[－2，4]，B正确；|z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，C正确；由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误. 故选ABC. 17．(多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．∈R B．＝1·2 C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2 D．若1，2在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则||＝5 答案　BC 解析　对于A，＝＝＝＝－i，A错误；对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i，又1·2＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝1·2，B正确；对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；对于D，由题意得＝(2，－3)，＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，2)，∴||＝＝，D错误．故选BC. 18．(多选)已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下列说法正确的是(　　) A．z2＝ B．|z1|＝ C．|z1＋z2|≥2 D．1·2＝－i 答案　ABD 解析　因为z1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝＝，故A正确；|z1|＝＝，|z2|＝＝，所以|z1|＝，故B正确；因为|z1＋z2|＝＝＜2，故C错误；1·2＝(1＋i)×＝－i，故D正确．故选ABD. 19．(多选)(2024·九省联考)已知复数z，w均不为0，则(　　) A．z2＝|z|2 B．＝ C．z－w＝－ D．＝ 答案　BCD 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)．对于A，z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；对于B, ＝，又·z＝|z|2，即有＝，故B正确；对于C，z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则z－w＝a－c－(b－d)i，＝a－bi，＝c－di，则－＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，即有z－w＝－，故C正确；对于D，＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝，＝＝，即有＝，故D正确．故选BCD. 20．已知i是虚数单位，则＝________． 答案　 解析　因为i2023＝－i，＝＝＝i2024＝1，所以＝|－i＋1|＝＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$