第3节 平面向量的数量积及其应用-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　平面向量的数量积及其应用 课标解读 考向预测 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 预计2025年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现. 必备知识——强基础 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)． (2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))． 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b， (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0； (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．小题热身 (1)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.故选A. (2)(人教A必修第二册6.2练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________． 答案　－e 解析　向量b在向量a上的投影向量为e＝－e. (3)(人教B必修第三册8.1.2例2改编)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，则〈a，b〉＝________． 答案　60° 解析　由|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝4，得a·b＝1，即|a||b|cos〈a，b〉＝1，则cos〈a，b〉＝，故〈a，b〉＝60°. (4)(人教A必修第二册习题6.2 T24改编)在⊙C中，弦AB的长度为4，则·＝________． 答案　8 解析　取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB，＝，所以·＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8. 考点探究——提素养 考点一　平面向量数量积的运算 例1 (1)(2024·江苏淮安模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________，a·b＝________． 答案　0　3 解析　如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. (2)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则·＝________． 答案　－2 解析　如图所示，∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵＝3，∴＝＋＝＋，＝－＝－，又||＝4，||＝3，cosθ＝，则·＝4×3×＝8，∴·＝·＝2＋·－2＝×42＋×8－9＝－2. 【通性通法】 计算平面向量数量积的主要方法 提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝. 【巩固迁移】 1．设向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，则a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量为________． 答案　13　 解析　因为向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，所以a＝－2e1＋7e2＝－2(1，0)＋7(0，1)＝(－2，7)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，所以a·b＝－2×4＋7×3＝13.由a＝(－2，7)，b＝(4，3)可得，|a|＝＝，|b|＝＝5，所以cos〈a，b〉＝＝，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝××＝b＝. 2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．若＝x＋y，则x＋y＝________；·＝________． 答案　　1 解析　∵M是BC的中点，∴＝，∵D是AM的中点，∴＝＋＝＋，∴x＝，y＝，∴x＋y＝.∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，∴·＝||||cos∠DBM＝||2＝1. 考点二　平面向量数量积的应用(多考向探究) 考向1平面向量的模 例2 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故选D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 答案　 解析　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. 解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 【通性通法】 求平面向量的模的方法 【巩固迁移】 3.(2024·山东兖州阶段考试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________． 答案　 解析　因为M为BC的中点，所以＝(＋)，所以||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝×(1＋9＋2×1×3cos60°)＝，所以||＝. 考向2平面向量的夹角 例3 (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 答案　C 解析　c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C. 【通性通法】 求平面向量的夹角的方法 【巩固迁移】 4．(2024·湖南岳阳阶段考试)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝________． 答案　－ 解析　解法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cosθ＝＝＝－. 解法二：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cosθ＝＝＝－. 考向3平面向量的垂直 例4 (1)(2024·福建福州开学考试)下列向量中，与(3，2)垂直的向量是(　　) A．(－4，6) B．(2，3) C．(3，－2) D．(－3，2) 答案　A 解析　对于A，∵(3，2)·(－4，6)＝－12＋12＝0，∴A符合题意；对于B，∵(3，2)·(2，3)＝6＋6＝12≠0，∴B不符合题意；对于C，∵(3，2)·(3，－2)＝9－4＝5≠0，∴C不符合题意；对于D，∵(3，2)·(－3，2)＝－9＋4＝－5≠0，∴D不符合题意． (2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝________． 答案　 解析　因为⊥，所以·＝0.又＝λ＋，＝－，所以·＝(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，所以(λ－1)||||·cos120°－λ||2＋||2＝0，所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0，解得λ＝. 【通性通法】 有关平面向量垂直的两类题型 (1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 (2)已知两个向量的垂直关系求参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【巩固迁移】 5．(2023·河南安阳模拟预测)在△ABC中，点D在边AC上，且＝3，||＝λ||，若⊥(3－)，则λ＝(　　) A． B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，则·(3－)＝·(3－)＝2－2＝0，即9||2＝||2，则||＝3||，即λ＝3.故选B. 考向4最值、范围问题 例5 (1)已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为，则e1＋te2与te1＋e2的数量积的最小值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　由题意得，(e1＋te2)·(te1＋e2)＝te＋(t2＋1)e1·e2＋te＝t|e1|2＋(t2＋1)|e1||e2|·cos＋t|e2|2＝t2＋2t＋，∴当t＝－2时，取得最小值，为×4－4＋＝－.故选A. (2)(2022·天津高考)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________． 答案　b－a　 解析　＝－＝b－a，＝－＝b－a. 解法一：⊥⇒·(b－a)＝0，3b2＋a2＝4a·b⇒cos∠ACB＝＝≥＝，当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈. 解法二：如图所示，建立平面直角坐标系． 设||＝1，A(x，y)，则E(0，0)，B(1，0)，C(3，0)，所以＝ ，＝(1－x，－y)，⊥⇒(x－1)＋＝0⇒(x＋1)2＋y2＝4，所以点A的轨迹是以M(－1，0)为圆心，r＝2为半径的圆，当且仅当CA与⊙M相切时，∠ACB最大，此时sin∠ACB＝＝＝，∠ACB＝. 【通性通法】 利用数量积求最值、范围的方法 方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值 方法二 利用向量三角不等式求最值 方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值 【巩固迁移】 6．已知点A，B在单位圆上，∠AOB＝，若＝2＋x(x∈R)，则||2的最小值是(　　) A．2 B．3 C．5－2 D．4 答案　A 解析　||2＝(2＋x)2＝42＋x22＋4x||||cos＝x2－2x＋4＝(x－)2＋2≥2，因此||2≥2.故选A. 7．已知⊥，||＝，||＝t，t∈. 若P是△ABC所在平面内一点，＝＋，则·的取值范围是________． 答案　 解析　由题意建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0，0)，B，C(0，t)，∵＝＋＝(0，4)＋(1，0)＝(1，4)，∴P(1，4)，＝，＝(－1，t－4)，·＝×(－1)＋(－4)×(t－4)＝－＋1－4t＋16＝－－4t＋17≤－2＋17＝13，当且仅当t＝时，等号成立，又当t＝时，·＝12，当t＝4时，·＝，所以·的取值范围为. 课时作业 一、单项选择题 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案　D 解析　因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 2．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a|·|b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，将|a|＝|b|代入8|a||b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，得cosθ＝.故选B. 3．(2023·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为(　　) A．b B．－2b C．－b D．－b 答案　B 解析　因为a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，所以向量a－2b在向量b上的投影向量为·＝－2b.故选B. 4．(2023·湖北黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝(　　) A．12 B．－12 C．20 D．－20 答案　B 解析　如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos∠BDA－||||·cos∠BDC＝||2－||2＝4－16＝－12.故选B. 5．(2024·湖北荆州中学摸底)已知向量a＝(m，2)，b＝(1，1)，若|a＋b|＝|a|＋，则实数m＝(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案　A 解析　因为b＝(1，1)，则|b|＝，由已知可得|a＋b|＝|a|＋|b|，等式|a＋b|＝|a|＋|b|两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝a2＋2|a||b|＋b2，则a·b＝|a||b|，故a与b同向，所以m＝2.故选A. 6．(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0. 如图，设＝a，＝b，＝c，由题意知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos(2∠ACD)＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝.故选D. 7．(2024·湖南岳阳模拟)在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－ 答案　C 解析　 如图，以AC的中点为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时取等号．故·的最小值是－1.故选C. 8．(2024·山东日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，且＝3，则·的值为(　　) A．－ B． C．1 D．－8 答案　B 解析　如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，由于△ABC的边长为1，故B(0，0)，C(1，0)，A，∵D，E分别是边AB，BC的中点，∴D，E，设F(x，y)，＝，＝，∵＝3，∴解得 ∴F，＝，＝(1，0)，·＝.故选B. 二、多项选择题 9．下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　) A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b≤|a||b| D．|a－b|≤|a|＋|b| 答案　ACD 解析　根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．故选ACD. 10．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，下列结论中正确的是(　　) A．a⊗b＝b⊗a B．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R) C．(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c D．若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1 答案　AD 解析　当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a||e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，则|a|＝|u|，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1＝|a|＋1，故D正确．故选AD. 11．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值可能为(　　) A．－5 B．－4 C．0 D．2 答案　BCD 解析　在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．则A(3，0)，B(0，4)，C(0，0)，设P(x，y)，因为PC＝1，所以x2＋y2＝1，又＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)，所以·＝－x(3－x)－y(4－y)＝x2＋y2－3x－4y＝－3x－4y＋1，设x＝cosθ，y＝sinθ，所以·＝－(3cosθ＋4sinθ)＋1＝－5sin(θ＋φ)＋1，其中tanφ＝，当sin(θ＋φ)＝1时，·有最小值－4；当sin(θ＋φ)＝－1时，·有最大值6，所以·∈[－4，6]．故选BCD. 三、填空题 12．若向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________． 答案　∪(2，＋∞) 解析　当a与b共线时，此时－2＝－λ⇒λ＝2，当λ＝2时，a＝－b，此时a与b方向相反，当a与b的夹角为钝角时，则需a·b＜0且a与b不反向，所以－2λ－1＜0且λ≠2，解得λ∈∪(2，＋∞)． 13.(2024·四川树德中学阶段练习)如图，直径AB＝4的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，∠ADC＝，线段AC上有动点P，则·的取值范围为________． 答案　[4，8] 解析　过点P作AB的垂线，交AB于点H，可得·＝||||.当P在C点时，·取最小值4，当P在A点时，·取最大值8，故·的取值范围为[4，8]． 14．已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为________． 答案　5 解析　取BC的中点O， ∵△ABC为等边三角形， ∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，0)，A(0，2)，设P(x，y)，∴＝(x，y－2)，＝(－2，－2)，＝(2，－2)，∴＝λ＋(2－2λ)＝(4－6λ，2λ－4)，则∴P(4－6λ，2λ－2)，∴＝(6λ－4，4－2λ)，＝(6λ－2，2－2λ)，∴·＝(6λ－4)·(6λ－2)＋(4－2λ)(2－2λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝时，·取得最小值5. 15．(2024·河南开封五校高三期末联考)已知a，b是不共线的两个向量，|a|＝2，a·b＝4，若∀t∈R，|b－ta|≥2，则|b|的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　B 解析　由|b－ta|≥2，得|b－ta|2≥4，即|b|2－2ta·b＋t2|a|2≥4.因为|a|＝2，a·b＝4，所以|b|2－8t＋4t2＝|b|2＋4(t－)2－12≥4，所以|b|2≥－4(t－)2＋16.令f(t)＝－4(t－)2＋16，则f(t)max＝16.又∀t∈R，|b－ta|≥2恒成立，所以|b|2≥f(t)max＝16，所以|b|≥4，即|b|的最小值为4.故选B. 16．(多选)已知O为坐标原点，点A(1，0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列结论正确的是(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．·＝· D．·＝· 答案　ABD 解析　由题意＝(1，0)，的坐标等于Pi的坐标(i＝1，2，3)，||＝||＝1，A正确；||＝＝，||＝＝ ＝，所以||＝||，B正确；·＝cosα，·＝cosβcos(α－β)＋sinβsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；·＝cos(α－β)，·＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，D正确．故选ABD. 17．(多选)(2023·潍坊模拟)已知向量＝(1，2)，将绕原点O旋转－30°，30°，60°到，，的位置，则下列说法正确的是(　　) A．·＝0 B．||＝|| C．·＝· D．点P1的坐标为 答案　ABC 解析　由题意，作图，如图所示，∵⊥，∴·＝0，故A正确；∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴||＝||，故B正确；∵·＝||||cos60°＝，·＝||||cos60°＝，故C正确；若点P1的坐标为，则||＝≠，故D错误．故选ABC. 18．在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，则·(＋)的最小值为________． 答案　－ 解析　∵⊥，||＝||＝，∴△ABC为等腰直角三角形，以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，∴A(0，0)，B(，0)，C(0，)，∵M是BC的中点，∴M，O是线段AM上任意一点，∴可设O(x，x)，0≤x≤，∴＝(－x，－x)，＝(－x，－x＋)，＝(－x，－x)，∴＋＝(－2x，－2x)，∴·(＋)＝(－x)(－2x)＋(－x)·(－2x)＝4x2－2x＝4－，故当x＝时，·(＋)的最小值为－. 19．在△ABC中，O为其外心，·＝，且＋＋＝0，则边AC的长是________． 答案　－1 解析　设△ABC外接圆的半径为R，∵O为△ABC的外心，∴||＝||＝||＝R，又＋＋＝0，则＋＝－，∴32＋2＋2·＝72，从而·＝R2，又·＝，∴R2＝2，又·＝||||cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝，∴cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos∠AOC＝R2＋R2－2R2×＝(2－)R2＝4－2，∴AC＝－1. 20．(2022·浙江高考)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2＋2＋…＋2的取值范围是________． 答案　[12＋2，16] 解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A1(0，1) ，A2，A3(1，0) ， A4，A5(0，－1)，A6，A7(－1，0)，A8.设P(x，y) ，于是2＋2＋…＋2＝8(x2＋y2)＋8，因为cos22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2＋y2≤1，故2＋2＋…＋2的取值范围是[12＋2，16]． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$