第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 课标解读 考向预测 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 预计2025年高考，平面向量基本定理与坐标表示及运算仍是考查的重点，题型还是以选择题或填空题为主，中低档难度. 必备知识——强基础 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　) (3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．小题热身 (1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　) A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－1，2) 答案　D 解析　∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝，∴a－b＝＝(－1，2)．故选D. (2)(人教B必修第二册6.2.4例4改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 答案　D 解析　由题意可知＝(3，－3)．若＝，则点P的坐标为(2，2)；若＝，则点P的坐标为(3，1)．故选D. (3)(人教A必修第二册6.3例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________． 答案　(1，5) 解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得故顶点D的坐标为(1，5)． (4)(人教A必修第二册6.3例1改编)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示，则＝________． 答案　(1－t)＋t 解析　∵＝t，∴＝＋＝＋t＝＋t(－)＝＋t－t＝(1－t)＋t. 考点探究——提素养 考点一　平面向量基本定理的应用 例1 (2024·山东青岛二中阶段考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，设＝a，＝b，则向量＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 答案　C 解析　设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以＝＋＝a＋b.故选C. 【通性通法】 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 提醒：(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． 【巩固迁移】 1．(2023·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． 答案　 解析　由题图可设＝x(0<x<1)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝. 考点二　平面向量的坐标运算 例2 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－(a－2b)＝.故选D. 【通性通法】 1．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项 (1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算． 【巩固迁移】 2．(2024·吉林期末)已知向量＝(2，3)，＝(4，－1)(O为坐标原点)，P是线段AB的中点，则点P的坐标是(　　) A．(2，－4) B．(3，1) C．(－2，4) D．(6，2) 答案　B 解析　因为点P是线段AB的中点，所以＋＝2，设P(x，y)，则解得所以点P的坐标是(3，1)．故选B. 考点三　平面向量共线的坐标表示(多考向探究) 考向1利用向量共线求向量或点的坐标 例3 设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A．(3，1) B．(1，－1) C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1) 答案　C 解析　∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．故选C. 【通性通法】 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值． 提醒：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 【巩固迁移】 3．已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 答案　(3，3) 解析　解法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)． 解法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)． 考向2利用向量共线求参数 例4 已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　B 解析　因为＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，所以＝＋＋＝(4＋x，y－2)，所以＝(－x－4，2－y)，因为∥，所以x(2－y)＝y(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.故选B. 【通性通法】 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 【巩固迁移】 4．(2023·四川成都三模)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“a与b共线”的充要条件是(　　) A．x＝±2 B．x＝2 C．x＝－2 D．x＝ 答案　A 解析　因为a∥b，a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，所以(x＋1)(x－1)＝3，所以x＝±2.故选A. 考点四　解析法(坐标法)在向量中的应用 例5 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 答案　 解析　解法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)，∵＝λ＋μ＝，∴解得 ∴λ＋μ＝. 解法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，∴解得∴λ＋μ＝. 【通性通法】 通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简． 【巩固迁移】 5．(2024·广西宾阳中学阶段练习)已知直角坐标平面内有不共线的三点A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)． (1)求以线段AB，AD为邻边的平行四边形ABCD两条对角线AC，BD的长； (2)设点P满足＝(3，3)，试判断点P是在△ABD的BD边上，还是在△ABD的外部？请说明理由． 解　(1)∵A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)， ∴＝(1，0)，＝(3，4)，＝(2，4)， ＝＋＝(1，0)＋(3，4)＝(4，4)， ∴AC＝||＝＝4， BD＝＝2. (2)∵BD的中点为E(3，3)，A(1，1)， ∴＝(2，2)， 又＝(3，3)， ∴＝， 由>1知点P在AE的延长线上， ∴点P不是在△ABD的BD边上，而是在△ABD的外部． 课时作业 一、单项选择题 1．(2024·南京模拟)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)，3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，|3a＋b|＝＝.故选A. 2．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2 答案　D 解析　对于A，设e1＋e2＝λe1，则无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．故选D. 3．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×(－1)－(－9)×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件． 4．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A．2 B． C．3 D． 答案　B 解析　如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，于是＝＝，因此＝＋＝＋，因为＝x＋y，所以x＝且y＝1，故x＋y＝.故选B. 5．(2023·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　依题意作图，如图所示，设＝μ＝μ(－)＝－μ＋μ，由条件＝＋，得μ＝－，＝μ＝－，＝－，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝.故选D. 6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 答案　B 解析　由题得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，解得＝＋，即＝a＋b.故选B. 7．(2024·广东湛江摸底)若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知{p，q}，{m，n}为基底，且p＝(1，－1)，q＝(2，1)，m＝(－1，1)，n＝(1，2)，向量a在基底{p，q}下的坐标为(－2，2)，则a在基底{m，n}下的坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2) 答案　D 解析　∵a在基底{p，q}下的坐标为(－2，2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)．设(x，y)为a在基底{m，n}下的坐标，则a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，即(2，4)＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得∴a在基底{m，n}下的坐标为(0，2)．故选D. 8.地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若＝a，＝b，则＝(　　) A．－a－b B．－a－b C．－a＋b D．－a－b 答案　D 解析　以AB的中点M为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设|AB|＝2，则O(0，)，A(－1，0)，B(1，0)，F(1，2＋2)，所以＝(－1，－)，＝(1，－)，＝(2，2＋2)．设＝λ＋μ，则解得所以＝－－，即＝－a－b.故选D. 二、多项选择题 9．(2024·山东省实验中学月考)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 答案　BC 解析　由平面向量基本定理可知，A，D正确；对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；对于C，当两个向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)时，λ不存在，故C错误．故选BC. 10．(2023·山东聊城模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝a＋b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＝－a＋b 答案　ABD 解析　＝＋＝＋＝a＋b，故A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故B正确；＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b，故C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故D正确．故选ABD. 11．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 答案　ABD 解析　因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．故选ABD. 三、填空题 12．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若向量＝2i＋3j，＝i－2j，则的坐标是________． 答案　(3，1) 解析　＝＋＝2i＋3j＋i－2j＝3i＋j，所以的坐标是(3，1)． 13．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 答案　(2，4) 解析　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2，设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即∴ ∴点D的坐标为(2，4)． 14．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________． 答案　 解析　由已知得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．因为＝＋＝＋λ＝＋，又＝＋μ，所以μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤. 15．(多选)如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　) A．当x＝0时，y∈[2，3] B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝ C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．当P在C点时，x＝1，y＝2 答案　BC 解析　当＝y时，点P在线段BE上，所以1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋)＝3＋(－2＋－)＝－＋，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故点P的轨迹是一条线段，故C正确；因为＝(＋)，所以＝2－，则＝－＋2，所以x＝－1，y＝2，故D错误．故选BC. 16．(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0，1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的的是(　　) A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x} C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1} 答案　ACD 解析　设＝a，＝b，＝ta＋(1－t)b，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示， 观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意．故选ACD. 17．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________． 答案　0 解析　由题意可知，在 Rt△ABD中，AB＝， ∠ABC＝，所以BD＝1，所以BD＝BC，所以＝＝(＋)＝＝＋(＋)＝＋，又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0. 18．如图，矩形LMNK中，LM＝6，sin∠MLN＝，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆E上的动点，设＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________． 答案　 解析　如图，建立平面直角坐标系，由LM＝6，sin∠MLN＝，解得MN＝，则M，N(3，0)，L，设P(cosθ，sinθ)，因为＝λ＋μ，＝，＝(－6，0)，＝，所以＝＝λ(－6，0)＋μ，即解得 所以λ＋μ＝＋sinθ－cosθ＝＋sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取得最小值. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$