第3节 第2课时 简单的三角恒等变换-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第2课时　简单的三角恒等变换 考点探究——提素养 考点一　三角函数式的化简 例1 2＋＝(　　) A．2cos2 B．2sin2 C．4sin2＋2cos2 D．2sin2＋4cos2 答案　B 解析　2＋＝2＋＝2＋＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵<2<π，∴cos2<0，∵sin2＋cos2＝sin，0<2＋<π，∴sin2＋cos2>0，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.故选B. 【通性通法】 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 【巩固迁移】 1．(2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知0<θ<π，则＝________． 答案　－cosθ 解析　原式＝＝cos·＝.因为0<θ<π，所以0<<，即cos>0，所以原式＝－cosθ. 考点二　三角函数式的求值(多考向探究) 考向1给角求值问题 例2 (1)cos(－75°)的值是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝×＋×＝.故选C. (2)化简：＝(　　) A． B．2 C． D．－1 答案　A 解析　＝＝ ＝＝.故选A. (3)cos20°cos40°cos100°＝________． 答案　－ 解析　cos20°cos40°cos100°＝－cos20°cos40°cos80° ＝－ ＝－＝－＝－＝－＝－. 【通性通法】 解决给角求值问题的技巧 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． (3)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (4)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 【巩固迁移】 2．若tanα＝2tan10°，则＝________． 答案　3 解析　∵tanα＝2tan10°， ∴＝＝ ＝＝ ＝＝3. 考向2给值求值问题 例3 已知cos＝－，－π<α<0，则cosα＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　因为－π<α<0，所以－<＋α<，又cos＝－<0，所以－<＋α<－，所以sin＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.故选D. 【通性通法】 给值求值问题的求解思路 【巩固迁移】 3．已知α∈，cos2α＝，则sin2＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵α∈，∴2α∈，又cos2α＝，∴sin2α＝＝＝，∴sin2＝＝＝＝.故选D. 考向3给值求角问题 例4 已知cosα＝，sinβ＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵α∈，β∈，∴sinα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选B. 【通性通法】 已知三角函数值求角的解题步骤 提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 【巩固迁移】 4．若cosα＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π，由cosα＝，sin(α＋β)＝，得sinα＝，cos(α＋β)＝±.若cos(α＋β)＝，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝×－×<0，与sinβ>0矛盾，故舍去；若cos(α＋β)＝－，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝，又β∈，∴β＝.故选A. 考点三　三角恒等变换的综合应用 例5 设m为实数，已知sinα－cosα＝m－1，则m的取值范围是________． 答案　[－1，3] 解析　sinα－cosα＝2＝2sin＝m－1，因为－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，则m的取值范围是[－1，3]． 【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 【巩固迁移】 5．已知函数f(x)＝sin＋cos. (1)求函数f(x)在区间上的最值； (2)若cosθ＝，θ∈，求f的值． 解　(1)由题意得f(x)＝sin＋cos＝×＝－sin. 因为x∈，所以x－∈， 所以sin∈， 所以－sin∈， 即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. (2)因为cosθ＝，θ∈， 所以sinθ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝， 所以f＝－sin ＝－sin＝－(sin2θ－cos2θ) ＝(cos2θ－sin2θ)＝×＝. 课时作业 一、单项选择题 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝.故选D. 2．设0<θ<，若(sinθ＋cosθ)2＋cos2θ＝3，则sin2θ＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意(sinθ＋cosθ)2＋cos2θ＝3，则1＋2sinθcosθ＋cos2θ＝3，即sin2θ＋cos2θ＝2，故2sin＝2，即sin＝1，由于0<θ<，所以2θ＋∈，则2θ＋＝，即θ＝，故sin2θ＝sin＝.故选B. 3．已知tanα＝3，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　cos＝－sin2α＝－2sinαcosα＝＝＝＝－. 4．已知θ∈，且sinθ－cosθ＝－，则＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　sinθ－cosθ＝－平方得1－sin2θ＝，∴sin2θ＝，∵θ∈，∴2θ∈，∴cos2θ＝＝，＝＝＝.故选D. 5．(2023·广东梅州统考一模)已知sin＝，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　由－2α＝π－2，可得cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－，即cos＝－.故选A. 6．若α∈，2cos2α＝sin，则sin2α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　因为2cos2α＝sin，所以2(cos2α－sin2α)＝sincosα＋cossinα，所以2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝(cosα＋sinα)，因为α∈，所以cosα＋sinα≠0，所以cosα－sinα＝，所以(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝.故选A. 7．已知α∈，且sin＝，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　B 解析　∵2－＝，∴cos＝cos＝sin＝2sincos，∵α∈，∴α＋∈，则cos＝－＝－，∴2sincos＝2××＝－.故选B. 8．(2024·湖北襄阳五中模拟)若<θ<π，tanθ＝－3，则＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． 答案　C 解析　因为<θ<π，tanθ＝－3，所以cosθ<0，sinθ>0，所以＝ ＝ ＝＝cos2θ－sin2θ ＝＝＝＝－. 故选C. 二、多项选择题 9．下列各式中与tanα相等的是(　　) A． B． C． D． 答案　BC 解析　对于A，＝＝tan≠tanα；对于B，＝＝tanα；对于C，＝＝tanα；对于D，＝＝≠tanα.故选BC. 10．若函数f(x)＝2cosx(cosx－sinx)，则(　　) A．f(x)的最大值是4 B．f(x)的最小正周期是π C．f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．f(x)在区间上单调递减 答案　BC 解析　f(x)＝2cos2x－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＋1＝cos＋1，∴f(x)的最大值为＋1，最小正周期为π，A错误，B正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，C正确；由y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，有kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，易知(k∈Z)，D错误．故选BC. 三、填空题 11．已知sin＝，θ∈[0，π]，则cos2θ＝________． 答案　－ 解析　由于sin＝，θ∈[0，π]，则θ＋∈，所以cos＝－＝－，cos2θ＝sin＝2sincos＝2××＝－. 12．(2024·广西桂林模拟)若sin＝，则sin＝________． 答案　 解析　令θ＝＋α，得α＝θ－，故sinθ＝，则sin＝sin＝sin＝cos2θ＝1－2sin2θ＝. 13．已知α，β均为锐角，cosα＝，sinβ＝，则cos2α＝________，2α－β＝________． 答案　　 解析　因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sinβ＝，所以sinα＝，cosβ＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 14．若函数f(x)＝Asinx－cosx的一个零点为，则f＝________． 答案　 解析　∵函数f(x)＝Asinx－cosx的一个零点为，∴f＝Asin－cos＝A－＝0，∴A＝，函数f(x)＝sinx－cosx＝2sin，∴f＝2sin＝2sin＝. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 解　(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，因为x∈，则2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝时，f(x)取得最小值－1. 所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f(x0)＝2sin， 又因为f(x0)＝，所以sin＝， 由x0∈，得2x0＋∈， 从而cos＝－＝－， 所以cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝. 16．(多选)(2024·长沙模拟)已知0<β<α<，且sin(α－β)＝，tanα＝5tanβ，则(　　) A．sinαcosβ＝ B．sinβcosα＝ C．sin2αsin2β＝ D．α＋β＝ 答案　ABD 解析　由sin(α－β)＝⇒sinαcosβ－sinβcosα＝　①，由tanα＝5tanβ⇒＝⇒sinαcosβ＝5sinβcosα　②，由①②解得所以A，B正确；sin2αsin2β＝2sinαcosα×2sinβcosβ＝4××＝，所以C错误；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋sinβcosα＝，因为0<β<α<，所以α＋β∈，所以α＋β＝，所以D正确．故选ABD. 17．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．sin15°sin30°sin75°＝ C．＝ D．2sin18°cos36°＝ 答案　BD 解析　对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝，所以A错误；对于B，sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cos15°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，所以B正确；对于C，＝＝＝＝，所以C错误；对于D，2sin18°·cos36°＝2cos72°cos36°＝2××＝＝，所以D正确．故选BD. 18．(2024·江苏南京模拟)已知0<α<，cos＝. (1)求sinα的值； (2)若－<β<0，cos＝，求α－β的值． 解　(1)因为0<α<，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝＝，所以sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＝. (2)因为cos＝，sinβ＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－， 又－<β<0，所以cosβ＝＝， 由(1)知，cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝， 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝. 因为0<α<，－<β<0， 所以0<α－β<π，所以α－β＝. 19.(2023·重庆模拟)如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点(不包括A，B)，点M，N分别在半径OA，OB上． (1)若四边形PMON为矩形，求其面积的最大值； (2)若△PBN和△PAM均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围． 解　(1)设∠POA＝x， ∴PM＝4sinx，OM＝4cosx，S四边形PMON＝PM·OM＝ 16sinxcosx＝8sin2x≤8， 等号成立时x＝， ∴矩形的最大面积为8. (2)BN＝OB－PM＝4－4sinx，AM＝OA－OM＝4－4cosx， S△PBN＝BN·PN＝8cosx(1－sinx)，S△PAM＝AM·PM＝8sinx(1－cosx)， ∴S＝S△PBN＋S△PAM＝8(sinx＋cosx)－16sinxcosx，x∈， 令t＝sinx＋cosx＝sin， ∵x∈， ∴t∈(1，]，2sinxcosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1， ∴S＝8t－8(t2－1)＝－8t2＋8t＋8， ∴S∈[8－8，8)． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$