第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课标解读 考向预测 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 2.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式，并会简单应用. 从近几年的高考来看，本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查. 必备知识——强基础 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tanα． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 α＋k·2π(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα — — 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 1．和积互化变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα. 2．弦切互化变形：sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝. 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．小题热身 (1)已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　因为α为锐角，所以cosα＝＝，故cos(π＋α)＝－cosα＝－.故选A. (2)(人教B必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tanα＝2，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　原式＝＝＝.故选A. (3)下列三角函数的值中(k∈Z)，与sin的值相同的个数是(　　) ①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　对于①，sin＝sin，当k为奇数时，sin＝sin；当k为偶数时，sin＝－sin，不满足题意．对于②，cos＝cos＝sin，满足题意．对于③，sin＝sin，满足题意．对于④，cos＝cos＝－cos＝－sin，不满足题意．对于⑤，sin＝sin＝sin，满足题意．故选C. (4)(人教A必修第一册习题5.3 T5改编)化简·cos(2π－α)的结果为________． 答案　sinα 解析　原式＝·cosα＝sinα. 考点探究——提素养 考点一　同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究) 考向1“知一求二”问题 例1 已知角α的终边在第三象限，且tanα＝2，则sinα－cosα＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 答案　C 解析　由角α的终边在第三象限，则sinα<0，cosα<0，由题设知解得cosα＝－，sinα＝－，所以sinα－cosα＝－＋＝－.故选C. 【通性通法】 利用同角基本关系式“知一求二”的方法 注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 【巩固迁移】 1．(2024·广东梅州模拟)已知cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝(　　) A．－2 B．±2 C．± D． 答案　A 解析　∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－2.故选A. 考向2“弦切互化”问题 例2 已知tanθ＝2，则的值为(　　) A． B． C． D．2 答案　C 解析　由题意，得＝＝＝＝.故选C. 【通性通法】 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切． 【巩固迁移】 2．(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sinαcosα＝(　　) A． B．－ C．－3 D．3 答案　A 解析　由＝5，得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα＝＝＝.故选A. 考向3sinα±cosα，sinαcosα之间关系的应用 例3 (2023·广东潮州模拟)已知<x<π，sinx＋cosx＝，则sinx－cosx＝________． 答案　 解析　由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝，得2sinxcosx＝－，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，因为<x<π，所以sinx>cosx，故sinx－cosx＝. 【通性通法】 “sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用 sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个． 【巩固迁移】 3．(2023·山东聊城模拟)已知α∈，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为________． 答案　－ 解析　∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈，∴α∈，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－. 考点二　诱导公式的应用 例4 (1)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　原式＝＝＝－·＝－1.故选B. (2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________． 答案　－ 解析　cos＝cos＝－sin＝－. 【通性通法】 1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角； (2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等； (2)互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 【巩固迁移】 4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f(α)＝，则f＝________． 答案　 解析　因为f(α) ＝ ＝＝cosα， 所以f＝cos＝cos＝. 考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 (1)已知sin＝，且α∈，则cos的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　C 解析　由sin＝sin＝sin＝，而α∈，∴－α∈，∴cos＝＝.故选C. (2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若＝，则tanθ＝________． 答案　－3 解析　因为＝＝，所以＝，解得tanθ＝－3. 【通性通法】 利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求 (1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式． (2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 【巩固迁移】 5．已知cos167°＝m，则tan193°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－＝－，因为cos167°＝m，所以sin167°＝，所以tan193°＝－.故选C. 6．已知cosα＝－，且α∈，则＝________． 答案　 解析　∵cosα＝－，α∈， ∴sinα＝＝，∴ ＝＝ ＝＝. 课时作业 一、单项选择题 1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　B 解析　sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－.故选B. 2．(2023·吉林长春质检)已知sin＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 答案　C 解析　依题意，得sin＝－cosθ＝，则cosθ＝－.由于θ∈(0，π)，所以sinθ＝＝，所以tanθ＝＝－2.故选C. 3．已知sin＝，则cos的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　∵＋α－＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选D. 4．(2023·江西南昌模拟)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sinθ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　∵3sin＋sin(θ＋π)＝0，∴3cosθ－sinθ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－.故选A. 5．若tanθ＝－2，则cos2θ－sin2θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　解法一：由题意知tanθ＝－2，所以解得cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝cos2θ－(1－cos2θ)＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.故选C. 解法二：已知tanθ＝－2，所以cos2θ－sin2θ＝＝＝－.故选C. 6．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为(　　) A． B．－ C． D． 答案　B 解析　由题意，得sinα＋cosα＝，sinαcosα＝，所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝－＝1，解得a＝－.故选B. 7．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为(　　) A．3－ B．－3 C．π－3 D．－3 答案　A 解析　tanα＝＝－＝tan，又0<3－<，α为锐角，所以α＝3－.故选A. 8．已知sinα＋cosα＝，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　由题意知sinα＋cosα＝，有2sinαcosα＝－，所以＝＝·＝＝－.故选C. 二、多项选择题 9．已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ的值可能是(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　AD 解析　∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－，∵θ∈，∴θ＝－或θ＝.故选AD. 10．在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sinC B．sin＝cos C．tan(A＋B)＝－tanC D．cos(A＋B)＝cosC 答案　ABC 解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sin＝sin＝cos，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．故选ABC. 11．给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．sin(π＋|α|)＝－sinα成立的条件是角α是锐角 B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cosα＝ C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－ D．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1 答案　CD 解析　由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|＝所以A错误．当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此时cosα＝，当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此时cosα＝－，所以B错误．若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，所以C正确．将等式sinα＋cosα＝1两边平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，则cosα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，则sinα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确．故选CD. 三、填空题 12．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ＝________． 答案　－ 解析　∵cos＝，∴－sinφ＝，∴sinφ＝－，∵|φ|<，∴cosφ＝，∴tanφ＝＝－. 13．(2023·河南平顶山联考)已知tanθ＝2，则1＋sinθcosθ的值为________． 答案　 解析　∵tanθ＝2，∴1＋sinθcosθ＝＝＝＝. 14．(2023·全国乙卷)若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________． 答案　－ 解析　因为θ∈，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝＝，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sinθ＝－(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－. 15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a＝123，所以sin＝sin＝sin＝－cos＝－.故选D. 16．(多选)已知角α满足sinαcosα≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值为(　　) A．－2 B．－1 C．2 D．1 答案　AC 解析　当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC. 17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的是(　　) A．sinβ＝ B．cos(π＋β)＝ C．tanβ＝ D．tanβ＝ 答案　AC 解析　若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z)．又由sin(π＋α)＝－，可得sinα＝.若α与β广义互余，则sinβ＝sin＝cosα＝±＝±(k∈Z)，故A正确；若α与β广义互余，则cosβ＝cos＝sinα＝(k∈Z)，而由cos(π＋β)＝，可得cosβ＝－，故B错误；由A，B可知sinβ＝±，cosβ＝，所以tanβ＝＝±，故C正确，D错误．故选AC. 18．已知f(α)＝－，α为第二象限角． (1)若f(α)＝3，求sin2α＋cos2α的值； (2)若cos2αf(α)＝，求cos(2023π＋α)＋cos的值． 解　(1)因为α为第二象限角， 所以|cosα|＝－cosα， f(α)＝－ ＝－＝－ ＝－ ＝ ＝－2tanα. 若f(α)＝3，则－2tanα＝3，所以tanα＝－， 所以sin2α＋cos2α＝＝＝＝. (2)cos2αf(α)＝cos2α×(－2tanα)＝－cos2α×＝－2sinαcosα. 因为cos2αf(α)＝，则－2sinαcosα＝， 所以sinαcosα＝－. 又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0. 所以cos(2023π＋α)＋cos＝cos(π＋α)＋cos＝－cosα＋sinα＝＝＝＝. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$